Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25089 / 8703
↖ ↑ ↗
← N 78.631089°
W 42.182007°		 ← 120.40 m → N 78.631089°
W 42.176514°		 →
↑
120.41 m
↓
↑
120.41 m
↓
N 78.630006°
W 42.182007°		 ← 120.41 m →
14 498 m²		 N 78.630006°
W 42.176514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382835388183594 y=0.132804870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382835388183594 × 216)
    floor (0.382835388183594 × 65536)
    floor (25089.5)     		tx = 25089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132804870605469 × 216)
    floor (0.132804870605469 × 65536)
    floor (8703.5)     		ty = 8703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25089 / 8703 ti = "16/25089/8703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25089/8703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25089 ÷ 216
    25089 ÷ 65536     		x = 0.382827758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8703 ÷ 216
    8703 ÷ 65536     		y = 0.132797241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382827758789062 × 2 - 1) × π
    -0.234344482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73621490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132797241210938 × 2 - 1) × π
    0.734405517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3072029787133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73621490} λ = -0.73621490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3072029787133))-π/2
    2×atan(10.0462856458511)-π/2
    2×1.47158385742587-π/2
    2.94316771485175-1.57079632675     		φ = 1.37237139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73621490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.182007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37237139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.631089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25089 KachelY 8703 -0.73621490 1.37237139 -42.182007 78.631089
    Oben rechts KachelX + 1 25090 KachelY 8703 -0.73611903 1.37237139 -42.176514 78.631089
    Unten links KachelX 25089 KachelY + 1 8704 -0.73621490 1.37235249 -42.182007 78.630006
    Unten rechts KachelX + 1 25090 KachelY + 1 8704 -0.73611903 1.37235249 -42.176514 78.630006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37237139-1.37235249) × R
    1.89000000001549e-05 × 6371000     		dl = 120.411900000987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37237139-1.37235249) × R
    1.89000000001549e-05 × 6371000     		dr = 120.411900000987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73621490--0.73611903) × cos(1.37237139) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197125418196232 × 6371000     		do = 120.401794590391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73621490--0.73611903) × cos(1.37235249) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197143947310492 × 6371000     		du = 120.41311194677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37237139)-sin(1.37235249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197125418196232-0.197143947310492)×R²
    abs(-0.73611903--0.73621490)×1.85291142603961e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.85291142603961e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.85291142603961e-05×40589641000000     		ar = 14498.4902229845m²