Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25092 / 41475
↖ ↑ ↗
← S 43.080925°
W 42.165527°		 ← 446.11 m → S 43.080925°
W 42.160034°		 →
↑
446.16 m
↓
↑
446.16 m
↓
S 43.084938°
W 42.165527°		 ← 446.08 m →
199 032 m²		 S 43.084938°
W 42.160034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382881164550781 y=0.632865905761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382881164550781 × 216)
    floor (0.382881164550781 × 65536)
    floor (25092.5)     		tx = 25092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632865905761719 × 216)
    floor (0.632865905761719 × 65536)
    floor (41475.5)     		ty = 41475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25092 / 41475 ti = "16/25092/41475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25092/41475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25092 ÷ 216
    25092 ÷ 65536     		x = 0.38287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41475 ÷ 216
    41475 ÷ 65536     		y = 0.632858276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38287353515625 × 2 - 1) × π
    -0.2342529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73592728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632858276367188 × 2 - 1) × π
    -0.265716552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.834773169983658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73592728} λ = -0.73592728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834773169983658))-π/2
    2×atan(0.433972908351373)-π/2
    2×0.409446166818767-π/2
    0.818892333637535-1.57079632675     		φ = -0.75190399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73592728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.165527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75190399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.080925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25092 KachelY 41475 -0.73592728 -0.75190399 -42.165527 -43.080925
    Oben rechts KachelX + 1 25093 KachelY 41475 -0.73583141 -0.75190399 -42.160034 -43.080925
    Unten links KachelX 25092 KachelY + 1 41476 -0.73592728 -0.75197402 -42.165527 -43.084938
    Unten rechts KachelX + 1 25093 KachelY + 1 41476 -0.73583141 -0.75197402 -42.160034 -43.084938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75190399--0.75197402) × R
    7.00300000000542e-05 × 6371000     		dl = 446.161130000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75190399--0.75197402) × R
    7.00300000000542e-05 × 6371000     		dr = 446.161130000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73592728--0.73583141) × cos(-0.75190399) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.730389710024505 × 6371000     		do = 446.113102216804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73592728--0.73583141) × cos(-0.75197402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.730341875597 × 6371000     		du = 446.083885533499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75190399)-sin(-0.75197402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730389710024505-0.730341875597)×R²
    abs(-0.73583141--0.73592728)×4.78344275052223e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78344275052223e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78344275052223e-05×40589641000000     		ar = 199031.80820017m²