Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25092 / 57860
↖ ↑ ↗
← S 79.691117°
W 42.165527°		 ← 109.30 m → S 79.691117°
W 42.160034°		 →
↑
109.26 m
↓
↑
109.26 m
↓
S 79.692100°
W 42.165527°		 ← 109.29 m →
11 942 m²		 S 79.692100°
W 42.160034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382881164550781 y=0.882881164550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382881164550781 × 216)
    floor (0.382881164550781 × 65536)
    floor (25092.5)     		tx = 25092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882881164550781 × 216)
    floor (0.882881164550781 × 65536)
    floor (57860.5)     		ty = 57860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25092 / 57860 ti = "16/25092/57860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25092/57860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25092 ÷ 216
    25092 ÷ 65536     		x = 0.38287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57860 ÷ 216
    57860 ÷ 65536     		y = 0.88287353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38287353515625 × 2 - 1) × π
    -0.2342529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73592728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88287353515625 × 2 - 1) × π
    -0.7657470703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.4056653705329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73592728} λ = -0.73592728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4056653705329))-π/2
    2×atan(0.0902054555855146)-π/2
    2×0.0899619752158257-π/2
    0.179923950431651-1.57079632675     		φ = -1.39087238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73592728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.165527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39087238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.691117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25092 KachelY 57860 -0.73592728 -1.39087238 -42.165527 -79.691117
    Oben rechts KachelX + 1 25093 KachelY 57860 -0.73583141 -1.39087238 -42.160034 -79.691117
    Unten links KachelX 25092 KachelY + 1 57861 -0.73592728 -1.39088953 -42.165527 -79.692100
    Unten rechts KachelX + 1 25093 KachelY + 1 57861 -0.73583141 -1.39088953 -42.160034 -79.692100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39087238--1.39088953) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dl = 109.262649999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39087238--1.39088953) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dr = 109.262649999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73592728--0.73583141) × cos(-1.39087238) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178954748441977 × 6371000     		do = 109.303371731784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73592728--0.73583141) × cos(-1.39088953) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178937875262868 × 6371000     		du = 109.293065800343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39087238)-sin(-1.39088953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178954748441977-0.178937875262868)×R²
    abs(-0.73583141--0.73592728)×1.68731791094223e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68731791094223e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68731791094223e-05×40589641000000     		ar = 11942.2130231515m²