Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25096 / 41480
↖ ↑ ↗
← S 43.100983°
W 42.143555°		 ← 446.01 m → S 43.100983°
W 42.138061°		 →
↑
445.97 m
↓
↑
445.97 m
↓
S 43.104993°
W 42.143555°		 ← 445.98 m →
198 902 m²		 S 43.104993°
W 42.138061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382942199707031 y=0.632942199707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382942199707031 × 216)
    floor (0.382942199707031 × 65536)
    floor (25096.5)     		tx = 25096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632942199707031 × 216)
    floor (0.632942199707031 × 65536)
    floor (41480.5)     		ty = 41480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25096 / 41480 ti = "16/25096/41480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25096/41480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25096 ÷ 216
    25096 ÷ 65536     		x = 0.3829345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41480 ÷ 216
    41480 ÷ 65536     		y = 0.6329345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3829345703125 × 2 - 1) × π
    -0.234130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73554379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6329345703125 × 2 - 1) × π
    -0.265869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.835252538979858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73554379} λ = -0.73554379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.835252538979858))-π/2
    2×atan(0.433764925048274)-π/2
    2×0.409271132388571-π/2
    0.818542264777142-1.57079632675     		φ = -0.75225406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73554379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.143555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75225406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.100983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25096 KachelY 41480 -0.73554379 -0.75225406 -42.143555 -43.100983
    Oben rechts KachelX + 1 25097 KachelY 41480 -0.73544791 -0.75225406 -42.138061 -43.100983
    Unten links KachelX 25096 KachelY + 1 41481 -0.73554379 -0.75232406 -42.143555 -43.104993
    Unten rechts KachelX + 1 25097 KachelY + 1 41481 -0.73544791 -0.75232406 -42.138061 -43.104993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75225406--0.75232406) × R
    7.00000000000145e-05 × 6371000     		dl = 445.970000000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75225406--0.75232406) × R
    7.00000000000145e-05 × 6371000     		dr = 445.970000000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73554379--0.73544791) × cos(-0.75225406) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.730150556734798 × 6371000     		do = 446.013548204499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73554379--0.73544791) × cos(-0.75232406) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.730102724905136 × 6371000     		du = 445.984330060559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75225406)-sin(-0.75232406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730150556734798-0.730102724905136)×R²
    abs(-0.73544791--0.73554379)×4.78318296623925e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78318296623925e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78318296623925e-05×40589641000000     		ar = 198902.146966504m²