Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 251 / 269
↖ ↑ ↗
← S  9.102097°
W  3.515625°		 ← 77.199 km → S  9.102097°
W  2.812500°		 →
↑
77.123 km
↓
↑
77.123 km
↓
S  9.795678°
W  3.515625°		 ← 77.044 km →
5 947.91 km²		 S  9.795678°
W  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4912109375 y=0.5263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4912109375 × 29)
    floor (0.4912109375 × 512)
    floor (251.5)     		tx = 251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5263671875 × 29)
    floor (0.5263671875 × 512)
    floor (269.5)     		ty = 269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 251 / 269 ti = "9/251/269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/251/269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 251 ÷ 29
    251 ÷ 512     		x = 0.490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 269 ÷ 29
    269 ÷ 512     		y = 0.525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490234375 × 2 - 1) × π
    -0.01953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.06135923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525390625 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.159534001935547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06135923} λ = -0.06135923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159534001935547))-π/2
    2×atan(0.852540978860179)-π/2
    2×0.705967384936792-π/2
    1.41193476987358-1.57079632675     		φ = -0.15886156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06135923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15886156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.102097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 251 KachelY 269 -0.06135923 -0.15886156 -3.515625 -9.102097
    Oben rechts KachelX + 1 252 KachelY 269 -0.04908739 -0.15886156 -2.812500 -9.102097
    Unten links KachelX 251 KachelY + 1 270 -0.06135923 -0.17096683 -3.515625 -9.795678
    Unten rechts KachelX + 1 252 KachelY + 1 270 -0.04908739 -0.17096683 -2.812500 -9.795678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15886156--0.17096683) × R
    0.01210527 × 6371000     		dl = 77122.6751699998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15886156--0.17096683) × R
    0.01210527 × 6371000     		dr = 77122.6751699998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06135923--0.04908739) × cos(-0.15886156) × R
    0.01227184 × 0.987408017809851 × 6371000     		do = 77199.4024563206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06135923--0.04908739) × cos(-0.17096683) × R
    0.01227184 × 0.9854207357218 × 6371000     		du = 77044.029006903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15886156)-sin(-0.17096683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987408017809851-0.9854207357218)×R²
    abs(-0.04908739--0.06135923)×0.00198728208805043×R²
    0.01227184×0.00198728208805043×6371000²
    0.01227184×0.00198728208805043×40589641000000     		ar = 5947905663.73236m²