Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25103 / 41487
↖ ↑ ↗
← S 43.129053°
W 42.105102°		 ← 445.76 m → S 43.129053°
W 42.099610°		 →
↑
445.72 m
↓
↑
445.72 m
↓
S 43.133061°
W 42.105102°		 ← 445.73 m →
198 677 m²		 S 43.133061°
W 42.099610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383049011230469 y=0.633049011230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383049011230469 × 216)
    floor (0.383049011230469 × 65536)
    floor (25103.5)     		tx = 25103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633049011230469 × 216)
    floor (0.633049011230469 × 65536)
    floor (41487.5)     		ty = 41487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25103 / 41487 ti = "16/25103/41487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25103/41487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25103 ÷ 216
    25103 ÷ 65536     		x = 0.383041381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41487 ÷ 216
    41487 ÷ 65536     		y = 0.633041381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383041381835938 × 2 - 1) × π
    -0.233917236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.73487267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633041381835938 × 2 - 1) × π
    -0.266082763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.835923655574539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73487267} λ = -0.73487267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.835923655574539))-π/2
    2×atan(0.433473915870351)-π/2
    2×0.409026180488664-π/2
    0.818052360977328-1.57079632675     		φ = -0.75274397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73487267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.105102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75274397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.129053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25103 KachelY 41487 -0.73487267 -0.75274397 -42.105102 -43.129053
    Oben rechts KachelX + 1 25104 KachelY 41487 -0.73477680 -0.75274397 -42.099610 -43.129053
    Unten links KachelX 25103 KachelY + 1 41488 -0.73487267 -0.75281393 -42.105102 -43.133061
    Unten rechts KachelX + 1 25104 KachelY + 1 41488 -0.73477680 -0.75281393 -42.099610 -43.133061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75274397--0.75281393) × R
    6.99599999999245e-05 × 6371000     		dl = 445.715159999519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75274397--0.75281393) × R
    6.99599999999245e-05 × 6371000     		dr = 445.715159999519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73487267--0.73477680) × cos(-0.75274397) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.729815720335751 × 6371000     		do = 445.762516334807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73487267--0.73477680) × cos(-0.75281393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.729767890820886 × 6371000     		du = 445.733302652083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75274397)-sin(-0.75281393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729815720335751-0.729767890820886)×R²
    abs(-0.73477680--0.73487267)×4.78295148654828e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78295148654828e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78295148654828e-05×40589641000000     		ar = 198676.600880677m²