Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25104 / 41488
↖ ↑ ↗
← S 43.133061°
W 42.099610°		 ← 445.78 m → S 43.133061°
W 42.094116°		 →
↑
445.78 m
↓
↑
445.78 m
↓
S 43.137070°
W 42.099610°		 ← 445.75 m →
198 713 m²		 S 43.137070°
W 42.094116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383064270019531 y=0.633064270019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383064270019531 × 216)
    floor (0.383064270019531 × 65536)
    floor (25104.5)     		tx = 25104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633064270019531 × 216)
    floor (0.633064270019531 × 65536)
    floor (41488.5)     		ty = 41488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25104 / 41488 ti = "16/25104/41488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25104/41488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25104 ÷ 216
    25104 ÷ 65536     		x = 0.383056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41488 ÷ 216
    41488 ÷ 65536     		y = 0.633056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383056640625 × 2 - 1) × π
    -0.23388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73477680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633056640625 × 2 - 1) × π
    -0.26611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.836019529373779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73477680} λ = -0.73477680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.836019529373779))-π/2
    2×atan(0.433432359071301)-π/2
    2×0.408991196532127-π/2
    0.817982393064255-1.57079632675     		φ = -0.75281393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73477680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.099610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75281393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.133061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25104 KachelY 41488 -0.73477680 -0.75281393 -42.099610 -43.133061
    Oben rechts KachelX + 1 25105 KachelY 41488 -0.73468092 -0.75281393 -42.094116 -43.133061
    Unten links KachelX 25104 KachelY + 1 41489 -0.73477680 -0.75288390 -42.099610 -43.137070
    Unten rechts KachelX + 1 25105 KachelY + 1 41489 -0.73468092 -0.75288390 -42.094116 -43.137070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75281393--0.75288390) × R
    6.99700000000858e-05 × 6371000     		dl = 445.778870000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75281393--0.75288390) × R
    6.99700000000858e-05 × 6371000     		dr = 445.778870000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73477680--0.73468092) × cos(-0.75281393) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.729767890820886 × 6371000     		do = 445.77979616464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73477680--0.73468092) × cos(-0.75288390) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.729720050896783 × 6371000     		du = 445.750573076199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75281393)-sin(-0.75288390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729767890820886-0.729720050896783)×R²
    abs(-0.73468092--0.73477680)×4.78399241030658e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78399241030658e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78399241030658e-05×40589641000000     		ar = 198712.700366451m²