Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25106 / 41490
↖ ↑ ↗
← S 43.141078°
W 42.088623°		 ← 445.67 m → S 43.141078°
W 42.083130°		 →
↑
445.65 m
↓
↑
445.65 m
↓
S 43.145086°
W 42.088623°		 ← 445.65 m →
198 609 m²		 S 43.145086°
W 42.083130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383094787597656 y=0.633094787597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383094787597656 × 216)
    floor (0.383094787597656 × 65536)
    floor (25106.5)     		tx = 25106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633094787597656 × 216)
    floor (0.633094787597656 × 65536)
    floor (41490.5)     		ty = 41490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25106 / 41490 ti = "16/25106/41490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25106/41490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25106 ÷ 216
    25106 ÷ 65536     		x = 0.383087158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41490 ÷ 216
    41490 ÷ 65536     		y = 0.633087158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383087158203125 × 2 - 1) × π
    -0.23382568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73458505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633087158203125 × 2 - 1) × π
    -0.26617431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.836211276972259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73458505} λ = -0.73458505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.836211276972259))-π/2
    2×atan(0.43334925742487)-π/2
    2×0.40892123549828-π/2
    0.817842470996561-1.57079632675     		φ = -0.75295386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73458505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.088623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75295386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.141078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25106 KachelY 41490 -0.73458505 -0.75295386 -42.088623 -43.141078
    Oben rechts KachelX + 1 25107 KachelY 41490 -0.73448918 -0.75295386 -42.083130 -43.141078
    Unten links KachelX 25106 KachelY + 1 41491 -0.73458505 -0.75302381 -42.088623 -43.145086
    Unten rechts KachelX + 1 25107 KachelY + 1 41491 -0.73448918 -0.75302381 -42.083130 -43.145086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75295386--0.75302381) × R
    6.99499999999853e-05 × 6371000     		dl = 445.651449999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75295386--0.75302381) × R
    6.99499999999853e-05 × 6371000     		dr = 445.651449999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73458505--0.73448918) × cos(-0.75295386) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.729672214238087 × 6371000     		do = 445.674864565433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73458505--0.73448918) × cos(-0.75302381) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.729624380846563 × 6371000     		du = 445.645648514893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75295386)-sin(-0.75302381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729672214238087-0.729624380846563)×R²
    abs(-0.73448918--0.73458505)×4.78333915235885e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78333915235885e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78333915235885e-05×40589641000000     		ar = 198609.139615653m²