Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25119 / 41505
↖ ↑ ↗
← S 43.201172°
W 42.017212°		 ← 445.24 m → S 43.201172°
W 42.011719°		 →
↑
445.21 m
↓
↑
445.21 m
↓
S 43.205176°
W 42.017212°		 ← 445.21 m →
198 215 m²		 S 43.205176°
W 42.011719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383293151855469 y=0.633323669433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383293151855469 × 216)
    floor (0.383293151855469 × 65536)
    floor (25119.5)     		tx = 25119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633323669433594 × 216)
    floor (0.633323669433594 × 65536)
    floor (41505.5)     		ty = 41505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25119 / 41505 ti = "16/25119/41505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25119/41505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25119 ÷ 216
    25119 ÷ 65536     		x = 0.383285522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41505 ÷ 216
    41505 ÷ 65536     		y = 0.633316040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383285522460938 × 2 - 1) × π
    -0.233428955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.73333869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633316040039062 × 2 - 1) × π
    -0.266632080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.837649383960861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73333869} λ = -0.73333869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.837649383960861))-π/2
    2×atan(0.432726502730531)-π/2
    2×0.408396820127405-π/2
    0.81679364025481-1.57079632675     		φ = -0.75400269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73333869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.017212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75400269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.201172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25119 KachelY 41505 -0.73333869 -0.75400269 -42.017212 -43.201172
    Oben rechts KachelX + 1 25120 KachelY 41505 -0.73324282 -0.75400269 -42.011719 -43.201172
    Unten links KachelX 25119 KachelY + 1 41506 -0.73333869 -0.75407257 -42.017212 -43.205176
    Unten rechts KachelX + 1 25120 KachelY + 1 41506 -0.73324282 -0.75407257 -42.011719 -43.205176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75400269--0.75407257) × R
    6.98800000000777e-05 × 6371000     		dl = 445.205480000495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75400269--0.75407257) × R
    6.98800000000777e-05 × 6371000     		dr = 445.205480000495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73333869--0.73324282) × cos(-0.75400269) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.728954626132205 × 6371000     		do = 445.236570526463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73333869--0.73324282) × cos(-0.75407257) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.728906787158781 × 6371000     		du = 445.207351066567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75400269)-sin(-0.75407257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728954626132205-0.728906787158781)×R²
    abs(-0.73324282--0.73333869)×4.78389734238638e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78389734238638e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78389734238638e-05×40589641000000     		ar = 198215.256843855m²