Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 25124 / 41508
↖ ↑ ↗
← S 43.213183°
W 41.989746°		 ← 445.15 m → S 43.213183°
W 41.984253°		 →
↑
445.14 m
↓
↑
445.14 m
↓
S 43.217187°
W 41.989746°		 ← 445.12 m →
198 148 m²		 S 43.217187°
W 41.984253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383369445800781 y=0.633369445800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383369445800781 × 216)
    floor (0.383369445800781 × 65536)
    floor (25124.5)     		tx = 25124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633369445800781 × 216)
    floor (0.633369445800781 × 65536)
    floor (41508.5)     		ty = 41508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25124 / 41508 ti = "16/25124/41508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25124/41508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25124 ÷ 216
    25124 ÷ 65536     		x = 0.38336181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41508 ÷ 216
    41508 ÷ 65536     		y = 0.63336181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38336181640625 × 2 - 1) × π
    -0.2332763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73285932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63336181640625 × 2 - 1) × π
    -0.2667236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.837937005358582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73285932} λ = -0.73285932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.837937005358582))-π/2
    2×atan(0.43260205922615)-π/2
    2×0.408291998973314-π/2
    0.816583997946628-1.57079632675     		φ = -0.75421233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73285932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.989746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75421233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.213183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25124 KachelY 41508 -0.73285932 -0.75421233 -41.989746 -43.213183
    Oben rechts KachelX + 1 25125 KachelY 41508 -0.73276345 -0.75421233 -41.984253 -43.213183
    Unten links KachelX 25124 KachelY + 1 41509 -0.73285932 -0.75428220 -41.989746 -43.217187
    Unten rechts KachelX + 1 25125 KachelY + 1 41509 -0.73276345 -0.75428220 -41.984253 -43.217187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75421233--0.75428220) × R
    6.98700000000274e-05 × 6371000     		dl = 445.141770000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75421233--0.75428220) × R
    6.98700000000274e-05 × 6371000     		dr = 445.141770000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73285932--0.73276345) × cos(-0.75421233) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.728811098533943 × 6371000     		do = 445.148905624787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73285932--0.73276345) × cos(-0.75428220) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.728763255730653 × 6371000     		du = 445.119683825655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75421233)-sin(-0.75428220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728811098533943-0.728763255730653)×R²
    abs(-0.73276345--0.73285932)×4.78428032898437e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78428032898437e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78428032898437e-05×40589641000000     		ar = 198147.867922595m²