Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25128 / 41512
↖ ↑ ↗
← S 43.229195°
W 41.967774°		 ← 445.08 m → S 43.229195°
W 41.962280°		 →
↑
445.01 m
↓
↑
445.01 m
↓
S 43.233197°
W 41.967774°		 ← 445.05 m →
198 060 m²		 S 43.233197°
W 41.962280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383430480957031 y=0.633430480957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383430480957031 × 216)
    floor (0.383430480957031 × 65536)
    floor (25128.5)     		tx = 25128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633430480957031 × 216)
    floor (0.633430480957031 × 65536)
    floor (41512.5)     		ty = 41512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25128 / 41512 ti = "16/25128/41512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25128/41512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25128 ÷ 216
    25128 ÷ 65536     		x = 0.3834228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41512 ÷ 216
    41512 ÷ 65536     		y = 0.6334228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3834228515625 × 2 - 1) × π
    -0.233154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73247583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6334228515625 × 2 - 1) × π
    -0.266845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.838320500555542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73247583} λ = -0.73247583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.838320500555542))-π/2
    2×atan(0.432436190221258)-π/2
    2×0.40815226954331-π/2
    0.81630453908662-1.57079632675     		φ = -0.75449179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73247583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.967774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75449179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.229195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25128 KachelY 41512 -0.73247583 -0.75449179 -41.967774 -43.229195
    Oben rechts KachelX + 1 25129 KachelY 41512 -0.73237995 -0.75449179 -41.962280 -43.229195
    Unten links KachelX 25128 KachelY + 1 41513 -0.73247583 -0.75456164 -41.967774 -43.233197
    Unten rechts KachelX + 1 25129 KachelY + 1 41513 -0.73237995 -0.75456164 -41.962280 -43.233197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75449179--0.75456164) × R
    6.98500000000379e-05 × 6371000     		dl = 445.014350000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75449179--0.75456164) × R
    6.98500000000379e-05 × 6371000     		dr = 445.014350000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73247583--0.73237995) × cos(-0.75449179) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.728619719673954 × 6371000     		do = 445.078434120244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73247583--0.73237995) × cos(-0.75456164) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.728571876341716 × 6371000     		du = 445.049208949938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75449179)-sin(-0.75456164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728619719673954-0.728571876341716)×R²
    abs(-0.73237995--0.73247583)×4.78433322380623e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78433322380623e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78433322380623e-05×40589641000000     		ar = 198059.78732961m²