Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25136 / 41456
↖ ↑ ↗
← S 43.004647°
W 41.923828°		 ← 446.71 m → S 43.004647°
W 41.918335°		 →
↑
446.67 m
↓
↑
446.67 m
↓
S 43.008664°
W 41.923828°		 ← 446.69 m →
199 528 m²		 S 43.008664°
W 41.918335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383552551269531 y=0.632575988769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383552551269531 × 216)
    floor (0.383552551269531 × 65536)
    floor (25136.5)     		tx = 25136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632575988769531 × 216)
    floor (0.632575988769531 × 65536)
    floor (41456.5)     		ty = 41456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25136 / 41456 ti = "16/25136/41456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25136/41456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25136 ÷ 216
    25136 ÷ 65536     		x = 0.383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41456 ÷ 216
    41456 ÷ 65536     		y = 0.632568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.23291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.73170884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.26513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.832951567798096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73170884} λ = -0.73170884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832951567798096))-π/2
    2×atan(0.434764154799034)-π/2
    2×0.410111820386986-π/2
    0.820223640773972-1.57079632675     		φ = -0.75057269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73170884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.923828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75057269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.004647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25136 KachelY 41456 -0.73170884 -0.75057269 -41.923828 -43.004647
    Oben rechts KachelX + 1 25137 KachelY 41456 -0.73161296 -0.75057269 -41.918335 -43.004647
    Unten links KachelX 25136 KachelY + 1 41457 -0.73170884 -0.75064280 -41.923828 -43.008664
    Unten rechts KachelX + 1 25137 KachelY + 1 41457 -0.73161296 -0.75064280 -41.918335 -43.008664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75057269--0.75064280) × R
    7.01100000000121e-05 × 6371000     		dl = 446.670810000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75057269--0.75064280) × R
    7.01100000000121e-05 × 6371000     		dr = 446.670810000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73170884--0.73161296) × cos(-0.75057269) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.731298381206282 × 6371000     		do = 446.714698481686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73170884--0.73161296) × cos(-0.75064280) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.731250560345122 × 6371000     		du = 446.685487037871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75057269)-sin(-0.75064280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731298381206282-0.731250560345122)×R²
    abs(-0.73161296--0.73170884)×4.78208611602859e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78208611602859e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78208611602859e-05×40589641000000     		ar = 199527.892342074m²