Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25152 / 8768
↖ ↑ ↗
← N 78.560488°
W 41.835938°		 ← 121.15 m → N 78.560488°
W 41.830444°		 →
↑
121.11 m
↓
↑
121.11 m
↓
N 78.559399°
W 41.835938°		 ← 121.16 m →
14 674 m²		 N 78.559399°
W 41.830444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383796691894531 y=0.133796691894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383796691894531 × 216)
    floor (0.383796691894531 × 65536)
    floor (25152.5)     		tx = 25152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133796691894531 × 216)
    floor (0.133796691894531 × 65536)
    floor (8768.5)     		ty = 8768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25152 / 8768 ti = "16/25152/8768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25152/8768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25152 ÷ 216
    25152 ÷ 65536     		x = 0.3837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8768 ÷ 216
    8768 ÷ 65536     		y = 0.1337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3837890625 × 2 - 1) × π
    -0.232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73017486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1337890625 × 2 - 1) × π
    0.732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3009711817627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73017486} λ = -0.73017486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3009711817627))-π/2
    2×atan(9.98387390423035)-π/2
    2×1.47096775465594-π/2
    2.94193550931187-1.57079632675     		φ = 1.37113918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73017486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.835938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37113918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.560488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25152 KachelY 8768 -0.73017486 1.37113918 -41.835938 78.560488
    Oben rechts KachelX + 1 25153 KachelY 8768 -0.73007898 1.37113918 -41.830444 78.560488
    Unten links KachelX 25152 KachelY + 1 8769 -0.73017486 1.37112017 -41.835938 78.559399
    Unten rechts KachelX + 1 25153 KachelY + 1 8769 -0.73007898 1.37112017 -41.830444 78.559399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37113918-1.37112017) × R
    1.90099999999305e-05 × 6371000     		dl = 121.112709999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37113918-1.37112017) × R
    1.90099999999305e-05 × 6371000     		dr = 121.112709999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73017486--0.73007898) × cos(1.37113918) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.198333300157594 × 6371000     		do = 121.152189934471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73017486--0.73007898) × cos(1.37112017) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.198351932481161 × 6371000     		du = 121.163571516898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37113918)-sin(1.37112017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198333300157594-0.198351932481161)×R²
    abs(-0.73007898--0.73017486)×1.86323235667196e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.86323235667196e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.86323235667196e-05×40589641000000     		ar = 14673.7592726873m²