Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 25153 / 41537
↖ ↑ ↗
← S 43.329174°
W 41.830444°		 ← 444.30 m → S 43.329174°
W 41.824951°		 →
↑
444.31 m
↓
↑
444.31 m
↓
S 43.333169°
W 41.830444°		 ← 444.27 m →
197 403 m²		 S 43.333169°
W 41.824951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383811950683594 y=0.633811950683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383811950683594 × 216)
    floor (0.383811950683594 × 65536)
    floor (25153.5)     		tx = 25153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633811950683594 × 216)
    floor (0.633811950683594 × 65536)
    floor (41537.5)     		ty = 41537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25153 / 41537 ti = "16/25153/41537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25153/41537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25153 ÷ 216
    25153 ÷ 65536     		x = 0.383804321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41537 ÷ 216
    41537 ÷ 65536     		y = 0.633804321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383804321289062 × 2 - 1) × π
    -0.232391357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73007898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633804321289062 × 2 - 1) × π
    -0.267608642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.840717345536545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73007898} λ = -0.73007898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840717345536545))-π/2
    2×atan(0.431400948861261)-π/2
    2×0.407279792070036-π/2
    0.814559584140072-1.57079632675     		φ = -0.75623674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73007898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.830444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75623674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.329174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25153 KachelY 41537 -0.73007898 -0.75623674 -41.830444 -43.329174
    Oben rechts KachelX + 1 25154 KachelY 41537 -0.72998311 -0.75623674 -41.824951 -43.329174
    Unten links KachelX 25153 KachelY + 1 41538 -0.73007898 -0.75630648 -41.830444 -43.333169
    Unten rechts KachelX + 1 25154 KachelY + 1 41538 -0.72998311 -0.75630648 -41.824951 -43.333169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75623674--0.75630648) × R
    6.97400000000403e-05 × 6371000     		dl = 444.313540000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75623674--0.75630648) × R
    6.97400000000403e-05 × 6371000     		dr = 444.313540000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73007898--0.72998311) × cos(-0.75623674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.727423462535667 × 6371000     		do = 444.301354527829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73007898--0.72998311) × cos(-0.75630648) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.727375605957945 × 6371000     		du = 444.272124315443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75623674)-sin(-0.75630648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727423462535667-0.727375605957945)×R²
    abs(-0.72998311--0.73007898)×4.78565777217721e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78565777217721e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78565777217721e-05×40589641000000     		ar = 197402.614047601m²