Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25154 / 41538
↖ ↑ ↗
← S 43.333169°
W 41.824951°		 ← 444.32 m → S 43.333169°
W 41.819458°		 →
↑
444.31 m
↓
↑
444.31 m
↓
S 43.337165°
W 41.824951°		 ← 444.29 m →
197 410 m²		 S 43.337165°
W 41.819458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383827209472656 y=0.633827209472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383827209472656 × 216)
    floor (0.383827209472656 × 65536)
    floor (25154.5)     		tx = 25154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633827209472656 × 216)
    floor (0.633827209472656 × 65536)
    floor (41538.5)     		ty = 41538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25154 / 41538 ti = "16/25154/41538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25154/41538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25154 ÷ 216
    25154 ÷ 65536     		x = 0.383819580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41538 ÷ 216
    41538 ÷ 65536     		y = 0.633819580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383819580078125 × 2 - 1) × π
    -0.23236083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.72998311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633819580078125 × 2 - 1) × π
    -0.26763916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.840813219335785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72998311} λ = -0.72998311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840813219335785))-π/2
    2×atan(0.431359590795907)-π/2
    2×0.407244922791641-π/2
    0.814489845583283-1.57079632675     		φ = -0.75630648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72998311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.824951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75630648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.333169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25154 KachelY 41538 -0.72998311 -0.75630648 -41.824951 -43.333169
    Oben rechts KachelX + 1 25155 KachelY 41538 -0.72988723 -0.75630648 -41.819458 -43.333169
    Unten links KachelX 25154 KachelY + 1 41539 -0.72998311 -0.75637622 -41.824951 -43.337165
    Unten rechts KachelX + 1 25155 KachelY + 1 41539 -0.72988723 -0.75637622 -41.819458 -43.337165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75630648--0.75637622) × R
    6.97400000000403e-05 × 6371000     		dl = 444.313540000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75630648--0.75637622) × R
    6.97400000000403e-05 × 6371000     		dr = 444.313540000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72998311--0.72988723) × cos(-0.75630648) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.727375605957945 × 6371000     		do = 444.318465415531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72998311--0.72988723) × cos(-0.75637622) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.727327745842511 × 6371000     		du = 444.289229993185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75630648)-sin(-0.75637622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727375605957945-0.727327745842511)×R²
    abs(-0.72988723--0.72998311)×4.78601154348945e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78601154348945e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78601154348945e-05×40589641000000     		ar = 197410.215489417m²