Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25160 / 41544
↖ ↑ ↗
← S 43.357138°
W 41.791992°		 ← 444.10 m → S 43.357138°
W 41.786499°		 →
↑
444.06 m
↓
↑
444.06 m
↓
S 43.361132°
W 41.791992°		 ← 444.07 m →
197 199 m²		 S 43.361132°
W 41.786499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383918762207031 y=0.633918762207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383918762207031 × 216)
    floor (0.383918762207031 × 65536)
    floor (25160.5)     		tx = 25160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633918762207031 × 216)
    floor (0.633918762207031 × 65536)
    floor (41544.5)     		ty = 41544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25160 / 41544 ti = "16/25160/41544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25160/41544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25160 ÷ 216
    25160 ÷ 65536     		x = 0.3839111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41544 ÷ 216
    41544 ÷ 65536     		y = 0.6339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3839111328125 × 2 - 1) × π
    -0.232177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.72940786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.267822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.841388462131226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72940786} λ = -0.72940786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841388462131226))-π/2
    2×atan(0.43111152565474)-π/2
    2×0.407035755297136-π/2
    0.814071510594273-1.57079632675     		φ = -0.75672482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72940786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.791992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75672482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.357138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25160 KachelY 41544 -0.72940786 -0.75672482 -41.791992 -43.357138
    Oben rechts KachelX + 1 25161 KachelY 41544 -0.72931199 -0.75672482 -41.786499 -43.357138
    Unten links KachelX 25160 KachelY + 1 41545 -0.72940786 -0.75679452 -41.791992 -43.361132
    Unten rechts KachelX + 1 25161 KachelY + 1 41545 -0.72931199 -0.75679452 -41.786499 -43.361132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75672482--0.75679452) × R
    6.97000000000614e-05 × 6371000     		dl = 444.058700000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75672482--0.75679452) × R
    6.97000000000614e-05 × 6371000     		dr = 444.058700000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72940786--0.72931199) × cos(-0.75672482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.727088460862169 × 6371000     		do = 444.096739602727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72940786--0.72931199) × cos(-0.75679452) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.727040606994194 × 6371000     		du = 444.06751104542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75672482)-sin(-0.75679452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727088460862169-0.727040606994194)×R²
    abs(-0.72931199--0.72940786)×4.78538679753449e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78538679753449e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78538679753449e-05×40589641000000     		ar = 197198.531344651m²