Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25184 / 41440
↖ ↑ ↗
← S 42.940339°
W 41.660156°		 ← 447.14 m → S 42.940339°
W 41.654663°		 →
↑
447.12 m
↓
↑
447.12 m
↓
S 42.944360°
W 41.660156°		 ← 447.11 m →
199 915 m²		 S 42.944360°
W 41.654663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384284973144531 y=0.632331848144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384284973144531 × 216)
    floor (0.384284973144531 × 65536)
    floor (25184.5)     		tx = 25184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632331848144531 × 216)
    floor (0.632331848144531 × 65536)
    floor (41440.5)     		ty = 41440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25184 / 41440 ti = "16/25184/41440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25184/41440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25184 ÷ 216
    25184 ÷ 65536     		x = 0.38427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41440 ÷ 216
    41440 ÷ 65536     		y = 0.63232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38427734375 × 2 - 1) × π
    -0.2314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.72710689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63232421875 × 2 - 1) × π
    -0.2646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.831417587010254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72710689} λ = -0.72710689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831417587010254))-π/2
    2×atan(0.43543158644252)-π/2
    2×0.41067301263106-π/2
    0.821346025262119-1.57079632675     		φ = -0.74945030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72710689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.660156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74945030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.940339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25184 KachelY 41440 -0.72710689 -0.74945030 -41.660156 -42.940339
    Oben rechts KachelX + 1 25185 KachelY 41440 -0.72701102 -0.74945030 -41.654663 -42.940339
    Unten links KachelX 25184 KachelY + 1 41441 -0.72710689 -0.74952048 -41.660156 -42.944360
    Unten rechts KachelX + 1 25185 KachelY + 1 41441 -0.72701102 -0.74952048 -41.654663 -42.944360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74945030--0.74952048) × R
    7.01800000000308e-05 × 6371000     		dl = 447.116780000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74945030--0.74952048) × R
    7.01800000000308e-05 × 6371000     		dr = 447.116780000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72710689--0.72701102) × cos(-0.74945030) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732063455134092 × 6371000     		do = 447.135405259838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72710689--0.72701102) × cos(-0.74952048) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732015644157442 × 6371000     		du = 447.106202900028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74945030)-sin(-0.74952048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732063455134092-0.732015644157442)×R²
    abs(-0.72701102--0.72710689)×4.78109766507417e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78109766507417e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78109766507417e-05×40589641000000     		ar = 199915.21427366m²