Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25216 / 8832
↖ ↑ ↗
← N 63.548552°
E 97.031250°		 ← 544.17 m → N 63.548552°
E 97.042236°		 →
↑
544.21 m
↓
↑
544.21 m
↓
N 63.543658°
E 97.031250°		 ← 544.26 m →
296 167 m²		 N 63.543658°
E 97.042236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.769546508789062 y=0.269546508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.769546508789062 × 215)
    floor (0.769546508789062 × 32768)
    floor (25216.5)     		tx = 25216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269546508789062 × 215)
    floor (0.269546508789062 × 32768)
    floor (8832.5)     		ty = 8832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25216 / 8832 ti = "15/25216/8832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25216/8832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25216 ÷ 215
    25216 ÷ 32768     		x = 0.76953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8832 ÷ 215
    8832 ÷ 32768     		y = 0.26953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76953125 × 2 - 1) × π
    0.5390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69351479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26953125 × 2 - 1) × π
    0.4609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44807786372266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69351479} λ = 1.69351479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44807786372266))-π/2
    2×atan(4.2549280983296)-π/2
    2×1.33996389905054-π/2
    2.67992779810109-1.57079632675     		φ = 1.10913147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69351479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10913147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.548552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25216 KachelY 8832 1.69351479 1.10913147 97.031250 63.548552
    Oben rechts KachelX + 1 25217 KachelY 8832 1.69370654 1.10913147 97.042236 63.548552
    Unten links KachelX 25216 KachelY + 1 8833 1.69351479 1.10904605 97.031250 63.543658
    Unten rechts KachelX + 1 25217 KachelY + 1 8833 1.69370654 1.10904605 97.042236 63.543658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10913147-1.10904605) × R
    8.54200000000027e-05 × 6371000     		dl = 544.210820000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10913147-1.10904605) × R
    8.54200000000027e-05 × 6371000     		dr = 544.210820000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69351479-1.69370654) × cos(1.10913147) × R
    0.000191749999999935 × 0.445439290109431 × 6371000     		do = 544.166120289634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69351479-1.69370654) × cos(1.10904605) × R
    0.000191749999999935 × 0.445515766047761 × 6371000     		du = 544.259546297578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10913147)-sin(1.10904605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445439290109431-0.445515766047761)×R²
    abs(1.69370654-1.69351479)×7.6475938329934e-05×R²
    0.000191749999999935×7.6475938329934e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.6475938329934e-05×40589641000000     		ar = 296166.512440638m²