Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25218 / 41602
↖ ↑ ↗
← S 43.588349°
W 41.473388°		 ← 442.40 m → S 43.588349°
W 41.467895°		 →
↑
442.40 m
↓
↑
442.40 m
↓
S 43.592327°
W 41.473388°		 ← 442.37 m →
195 713 m²		 S 43.592327°
W 41.467895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384803771972656 y=0.634803771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384803771972656 × 216)
    floor (0.384803771972656 × 65536)
    floor (25218.5)     		tx = 25218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634803771972656 × 216)
    floor (0.634803771972656 × 65536)
    floor (41602.5)     		ty = 41602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25218 / 41602 ti = "16/25218/41602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25218/41602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25218 ÷ 216
    25218 ÷ 65536     		x = 0.384796142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41602 ÷ 216
    41602 ÷ 65536     		y = 0.634796142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384796142578125 × 2 - 1) × π
    -0.23040771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.72384718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634796142578125 × 2 - 1) × π
    -0.26959228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.846949142487152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72384718} λ = -0.72384718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846949142487152))-π/2
    2×atan(0.428720905161089)-π/2
    2×0.405018061396735-π/2
    0.810036122793469-1.57079632675     		φ = -0.76076020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72384718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.473388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76076020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.588349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25218 KachelY 41602 -0.72384718 -0.76076020 -41.473388 -43.588349
    Oben rechts KachelX + 1 25219 KachelY 41602 -0.72375131 -0.76076020 -41.467895 -43.588349
    Unten links KachelX 25218 KachelY + 1 41603 -0.72384718 -0.76082964 -41.473388 -43.592327
    Unten rechts KachelX + 1 25219 KachelY + 1 41603 -0.72375131 -0.76082964 -41.467895 -43.592327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76076020--0.76082964) × R
    6.94399999999762e-05 × 6371000     		dl = 442.402239999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76076020--0.76082964) × R
    6.94399999999762e-05 × 6371000     		dr = 442.402239999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72384718--0.72375131) × cos(-0.76076020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.724312083265956 × 6371000     		do = 442.400962122058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72384718--0.72375131) × cos(-0.76082964) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.724264204565535 × 6371000     		du = 442.371718397398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76076020)-sin(-0.76082964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724312083265956-0.724264204565535)×R²
    abs(-0.72375131--0.72384718)×4.78787004204451e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78787004204451e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78787004204451e-05×40589641000000     		ar = 195712.707955003m²