Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25220 / 41604
↖ ↑ ↗
← S 43.596306°
W 41.462403°		 ← 442.39 m → S 43.596306°
W 41.456909°		 →
↑
442.34 m
↓
↑
442.34 m
↓
S 43.600284°
W 41.462403°		 ← 442.36 m →
195 679 m²		 S 43.600284°
W 41.456909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384834289550781 y=0.634834289550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384834289550781 × 216)
    floor (0.384834289550781 × 65536)
    floor (25220.5)     		tx = 25220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634834289550781 × 216)
    floor (0.634834289550781 × 65536)
    floor (41604.5)     		ty = 41604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25220 / 41604 ti = "16/25220/41604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25220/41604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25220 ÷ 216
    25220 ÷ 65536     		x = 0.38482666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41604 ÷ 216
    41604 ÷ 65536     		y = 0.63482666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38482666015625 × 2 - 1) × π
    -0.2303466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72365544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63482666015625 × 2 - 1) × π
    -0.2696533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.847140890085632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72365544} λ = -0.72365544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.847140890085632))-π/2
    2×atan(0.428638706838023)-π/2
    2×0.404948623436076-π/2
    0.809897246872152-1.57079632675     		φ = -0.76089908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72365544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.462403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76089908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.596306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25220 KachelY 41604 -0.72365544 -0.76089908 -41.462403 -43.596306
    Oben rechts KachelX + 1 25221 KachelY 41604 -0.72355956 -0.76089908 -41.456909 -43.596306
    Unten links KachelX 25220 KachelY + 1 41605 -0.72365544 -0.76096851 -41.462403 -43.600284
    Unten rechts KachelX + 1 25221 KachelY + 1 41605 -0.72355956 -0.76096851 -41.456909 -43.600284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76089908--0.76096851) × R
    6.9430000000037e-05 × 6371000     		dl = 442.338530000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76089908--0.76096851) × R
    6.9430000000037e-05 × 6371000     		dr = 442.338530000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72365544--0.72355956) × cos(-0.76089908) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.724216322372776 × 6371000     		do = 442.388612361789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72365544--0.72355956) × cos(-0.76096851) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.724168443584139 × 6371000     		du = 442.35936553289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76089908)-sin(-0.76096851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724216322372776-0.724168443584139)×R²
    abs(-0.72355956--0.72365544)×4.78787886369902e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78787886369902e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78787886369902e-05×40589641000000     		ar = 195679.060060227m²