Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25224 / 41608
↖ ↑ ↗
← S 43.612217°
W 41.440430°		 ← 442.23 m → S 43.612217°
W 41.434937°		 →
↑
442.21 m
↓
↑
442.21 m
↓
S 43.616194°
W 41.440430°		 ← 442.20 m →
195 551 m²		 S 43.616194°
W 41.434937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.384895324707031 y=0.634895324707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.384895324707031 × 216)
    floor (0.384895324707031 × 65536)
    floor (25224.5)     		tx = 25224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634895324707031 × 216)
    floor (0.634895324707031 × 65536)
    floor (41608.5)     		ty = 41608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25224 / 41608 ti = "16/25224/41608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25224/41608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25224 ÷ 216
    25224 ÷ 65536     		x = 0.3848876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41608 ÷ 216
    41608 ÷ 65536     		y = 0.6348876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3848876953125 × 2 - 1) × π
    -0.230224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.72327194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6348876953125 × 2 - 1) × π
    -0.269775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.847524385282593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72327194} λ = -0.72327194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.847524385282593))-π/2
    2×atan(0.42847435746833)-π/2
    2×0.404809775057144-π/2
    0.809619550114289-1.57079632675     		φ = -0.76117678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72327194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.440430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76117678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.612217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25224 KachelY 41608 -0.72327194 -0.76117678 -41.440430 -43.612217
    Oben rechts KachelX + 1 25225 KachelY 41608 -0.72317607 -0.76117678 -41.434937 -43.612217
    Unten links KachelX 25224 KachelY + 1 41609 -0.72327194 -0.76124619 -41.440430 -43.616194
    Unten rechts KachelX + 1 25225 KachelY + 1 41609 -0.72317607 -0.76124619 -41.434937 -43.616194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76117678--0.76124619) × R
    6.94100000000475e-05 × 6371000     		dl = 442.211110000303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76117678--0.76124619) × R
    6.94100000000475e-05 × 6371000     		dr = 442.211110000303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72327194--0.72317607) × cos(-0.76117678) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.724024800069398 × 6371000     		do = 442.225493059074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72327194--0.72317607) × cos(-0.76124619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723976921116147 × 6371000     		du = 442.196249179988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76117678)-sin(-0.76124619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724024800069398-0.723976921116147)×R²
    abs(-0.72317607--0.72327194)×4.78789532507573e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78789532507573e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78789532507573e-05×40589641000000     		ar = 195550.560250741m²