Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2528 / 736
↖ ↑ ↗
← N 74.775843°
E 42.187500°		 ← 2 566.35 m → N 74.775843°
E 42.275391°		 →
↑
2 568.21 m
↓
↑
2 568.21 m
↓
N 74.752746°
E 42.187500°		 ← 2 570.15 m →
6 595 810 m²		 N 74.752746°
E 42.275391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6173095703125 y=0.1798095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6173095703125 × 212)
    floor (0.6173095703125 × 4096)
    floor (2528.5)     		tx = 2528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1798095703125 × 212)
    floor (0.1798095703125 × 4096)
    floor (736.5)     		ty = 736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2528 / 736 ti = "12/2528/736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2528/736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2528 ÷ 212
    2528 ÷ 4096     		x = 0.6171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 736 ÷ 212
    736 ÷ 4096     		y = 0.1796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6171875 × 2 - 1) × π
    0.234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1796875 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.01258279364844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73631078} λ = 0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01258279364844))-π/2
    2×atan(7.48261847063995)-π/2
    2×1.43794049409873-π/2
    2.87588098819746-1.57079632675     		φ = 1.30508466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30508466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.775843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2528 KachelY 736 0.73631078 1.30508466 42.187500 74.775843
    Oben rechts KachelX + 1 2529 KachelY 736 0.73784476 1.30508466 42.275391 74.775843
    Unten links KachelX 2528 KachelY + 1 737 0.73631078 1.30468155 42.187500 74.752746
    Unten rechts KachelX + 1 2529 KachelY + 1 737 0.73784476 1.30468155 42.275391 74.752746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30508466-1.30468155) × R
    0.000403109999999929 × 6371000     		dl = 2568.21380999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30508466-1.30468155) × R
    0.000403109999999929 × 6371000     		dr = 2568.21380999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73631078-0.73784476) × cos(1.30508466) × R
    0.00153397999999993 × 0.262596026053888 × 6371000     		do = 2566.34743858587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73631078-0.73784476) × cos(1.30468155) × R
    0.00153397999999993 × 0.262984967910719 × 6371000     		du = 2570.14856213308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30508466)-sin(1.30468155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262596026053888-0.262984967910719)×R²
    abs(0.73784476-0.73631078)×0.000388941856831748×R²
    0.00153397999999993×0.000388941856831748×6371000²
    0.00153397999999993×0.000388941856831748×40589641000000     		ar = 6595810.07134609m²