Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25344 / 24320
↖ ↑ ↗
← S 65.366837°
E 98.437500°		 ← 509.19 m → S 65.366837°
E 98.448486°		 →
↑
509.11 m
↓
↑
509.11 m
↓
S 65.371416°
E 98.437500°		 ← 509.10 m →
259 208 m²		 S 65.371416°
E 98.448486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773452758789062 y=0.742202758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773452758789062 × 215)
    floor (0.773452758789062 × 32768)
    floor (25344.5)     		tx = 25344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742202758789062 × 215)
    floor (0.742202758789062 × 32768)
    floor (24320.5)     		ty = 24320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25344 / 24320 ti = "15/25344/24320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25344/24320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25344 ÷ 215
    25344 ÷ 32768     		x = 0.7734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24320 ÷ 215
    24320 ÷ 32768     		y = 0.7421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7734375 × 2 - 1) × π
    0.546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71805848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7421875 × 2 - 1) × π
    -0.484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52170894153906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71805848} λ = 1.71805848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52170894153906))-π/2
    2×atan(0.218338440313639)-π/2
    2×0.214964900714467-π/2
    0.429929801428934-1.57079632675     		φ = -1.14086653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71805848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14086653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.366837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25344 KachelY 24320 1.71805848 -1.14086653 98.437500 -65.366837
    Oben rechts KachelX + 1 25345 KachelY 24320 1.71825023 -1.14086653 98.448486 -65.366837
    Unten links KachelX 25344 KachelY + 1 24321 1.71805848 -1.14094644 98.437500 -65.371416
    Unten rechts KachelX + 1 25345 KachelY + 1 24321 1.71825023 -1.14094644 98.448486 -65.371416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14086653--1.14094644) × R
    7.99099999999608e-05 × 6371000     		dl = 509.106609999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14086653--1.14094644) × R
    7.99099999999608e-05 × 6371000     		dr = 509.106609999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71805848-1.71825023) × cos(-1.14086653) × R
    0.000191749999999935 × 0.416806989093035 × 6371000     		do = 509.187777550201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71805848-1.71825023) × cos(-1.14094644) × R
    0.000191749999999935 × 0.416734349970832 × 6371000     		du = 509.099038747433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14086653)-sin(-1.14094644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416806989093035-0.416734349970832)×R²
    abs(1.71825023-1.71805848)×7.26391222026224e-05×R²
    0.000191749999999935×7.26391222026224e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.26391222026224e-05×40589641000000     		ar = 259208.274664992m²