Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25344 / 40705
↖ ↑ ↗
← S 39.913950°
W 40.781250°		 ← 468.53 m → S 39.913950°
W 40.775757°		 →
↑
468.46 m
↓
↑
468.46 m
↓
S 39.918163°
W 40.781250°		 ← 468.50 m →
219 480 m²		 S 39.918163°
W 40.775757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386726379394531 y=0.621116638183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386726379394531 × 216)
    floor (0.386726379394531 × 65536)
    floor (25344.5)     		tx = 25344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621116638183594 × 216)
    floor (0.621116638183594 × 65536)
    floor (40705.5)     		ty = 40705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25344 / 40705 ti = "16/25344/40705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25344/40705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25344 ÷ 216
    25344 ÷ 65536     		x = 0.38671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40705 ÷ 216
    40705 ÷ 65536     		y = 0.621109008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38671875 × 2 - 1) × π
    -0.2265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71176709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621109008789062 × 2 - 1) × π
    -0.242218017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.760950344568771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71176709} λ = -0.71176709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.760950344568771))-π/2
    2×atan(0.467222193881708)-π/2
    2×0.437083243795935-π/2
    0.87416648759187-1.57079632675     		φ = -0.69662984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71176709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69662984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.913950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25344 KachelY 40705 -0.71176709 -0.69662984 -40.781250 -39.913950
    Oben rechts KachelX + 1 25345 KachelY 40705 -0.71167121 -0.69662984 -40.775757 -39.913950
    Unten links KachelX 25344 KachelY + 1 40706 -0.71176709 -0.69670337 -40.781250 -39.918163
    Unten rechts KachelX + 1 25345 KachelY + 1 40706 -0.71167121 -0.69670337 -40.775757 -39.918163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69662984--0.69670337) × R
    7.35300000000993e-05 × 6371000     		dl = 468.459630000633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69662984--0.69670337) × R
    7.35300000000993e-05 × 6371000     		dr = 468.459630000633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71176709--0.71167121) × cos(-0.69662984) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.767008956328976 × 6371000     		do = 468.528556147045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71176709--0.71167121) × cos(-0.69670337) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.766961774731557 × 6371000     		du = 468.499735198434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69662984)-sin(-0.69670337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767008956328976-0.766961774731557)×R²
    abs(-0.71167121--0.71176709)×4.71815974186773e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.71815974186773e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.71815974186773e-05×40589641000000     		ar = 219479.963430868m²