Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25344 / 7936
↖ ↑ ↗
← N 67.609220°
E 98.437500°		 ← 465.35 m → N 67.609220°
E 98.448486°		 →
↑
465.34 m
↓
↑
465.34 m
↓
N 67.605035°
E 98.437500°		 ← 465.43 m →
216 564 m²		 N 67.605035°
E 98.448486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773452758789062 y=0.242202758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773452758789062 × 215)
    floor (0.773452758789062 × 32768)
    floor (25344.5)     		tx = 25344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242202758789062 × 215)
    floor (0.242202758789062 × 32768)
    floor (7936.5)     		ty = 7936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25344 / 7936 ti = "15/25344/7936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25344/7936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25344 ÷ 215
    25344 ÷ 32768     		x = 0.7734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7936 ÷ 215
    7936 ÷ 32768     		y = 0.2421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7734375 × 2 - 1) × π
    0.546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71805848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2421875 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.61988371196094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71805848} λ = 1.71805848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61988371196094))-π/2
    2×atan(5.05250273676466)-π/2
    2×1.37539991552054-π/2
    2.75079983104107-1.57079632675     		φ = 1.18000350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71805848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18000350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.609220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25344 KachelY 7936 1.71805848 1.18000350 98.437500 67.609220
    Oben rechts KachelX + 1 25345 KachelY 7936 1.71825023 1.18000350 98.448486 67.609220
    Unten links KachelX 25344 KachelY + 1 7937 1.71805848 1.17993046 98.437500 67.605035
    Unten rechts KachelX + 1 25345 KachelY + 1 7937 1.71825023 1.17993046 98.448486 67.605035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18000350-1.17993046) × R
    7.30399999999687e-05 × 6371000     		dl = 465.337839999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18000350-1.17993046) × R
    7.30399999999687e-05 × 6371000     		dr = 465.337839999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71805848-1.71825023) × cos(1.18000350) × R
    0.000191749999999935 × 0.380921588243505 × 6371000     		do = 465.348763370447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71805848-1.71825023) × cos(1.17993046) × R
    0.000191749999999935 × 0.380989120547892 × 6371000     		du = 465.431263484129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18000350)-sin(1.17993046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380921588243505-0.380989120547892)×R²
    abs(1.71825023-1.71805848)×6.75323043872744e-05×R²
    0.000191749999999935×6.75323043872744e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.75323043872744e-05×40589641000000     		ar = 216563.583701608m²