Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25348 / 40708
↖ ↑ ↗
← S 39.926589°
W 40.759277°		 ← 468.39 m → S 39.926589°
W 40.753784°		 →
↑
468.40 m
↓
↑
468.40 m
↓
S 39.930801°
W 40.759277°		 ← 468.36 m →
219 387 m²		 S 39.930801°
W 40.753784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386787414550781 y=0.621162414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386787414550781 × 216)
    floor (0.386787414550781 × 65536)
    floor (25348.5)     		tx = 25348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621162414550781 × 216)
    floor (0.621162414550781 × 65536)
    floor (40708.5)     		ty = 40708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25348 / 40708 ti = "16/25348/40708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25348/40708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25348 ÷ 216
    25348 ÷ 65536     		x = 0.38677978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40708 ÷ 216
    40708 ÷ 65536     		y = 0.62115478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38677978515625 × 2 - 1) × π
    -0.2264404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.71138359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62115478515625 × 2 - 1) × π
    -0.2423095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.761237965966492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71138359} λ = -0.71138359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.761237965966492))-π/2
    2×atan(0.467087830105133)-π/2
    2×0.436972949880308-π/2
    0.873945899760615-1.57079632675     		φ = -0.69685043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71138359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.759277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69685043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.926589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25348 KachelY 40708 -0.71138359 -0.69685043 -40.759277 -39.926589
    Oben rechts KachelX + 1 25349 KachelY 40708 -0.71128772 -0.69685043 -40.753784 -39.926589
    Unten links KachelX 25348 KachelY + 1 40709 -0.71138359 -0.69692395 -40.759277 -39.930801
    Unten rechts KachelX + 1 25349 KachelY + 1 40709 -0.71128772 -0.69692395 -40.753784 -39.930801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69685043--0.69692395) × R
    7.35199999999381e-05 × 6371000     		dl = 468.395919999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69685043--0.69692395) × R
    7.35199999999381e-05 × 6371000     		dr = 468.395919999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71138359--0.71128772) × cos(-0.69685043) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766867399096869 × 6371000     		do = 468.393228580066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71138359--0.71128772) × cos(-0.69692395) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766820211478728 × 6371000     		du = 468.364406960011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69685043)-sin(-0.69692395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766867399096869-0.766820211478728)×R²
    abs(-0.71128772--0.71138359)×4.71876181403763e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71876181403763e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71876181403763e-05×40589641000000     		ar = 219386.727356576m²