Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 25360 / 41744
↖ ↑ ↗
← S 44.150681°
W 40.693359°		 ← 438.25 m → S 44.150681°
W 40.687866°		 →
↑
438.26 m
↓
↑
438.26 m
↓
S 44.154622°
W 40.693359°		 ← 438.22 m →
192 060 m²		 S 44.154622°
W 40.687866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.386970520019531 y=0.636970520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.386970520019531 × 216)
    floor (0.386970520019531 × 65536)
    floor (25360.5)     		tx = 25360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636970520019531 × 216)
    floor (0.636970520019531 × 65536)
    floor (41744.5)     		ty = 41744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25360 / 41744 ti = "16/25360/41744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25360/41744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25360 ÷ 216
    25360 ÷ 65536     		x = 0.386962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41744 ÷ 216
    41744 ÷ 65536     		y = 0.636962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386962890625 × 2 - 1) × π
    -0.22607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.71023310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.27392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.860563221979248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71023310} λ = -0.71023310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860563221979248))-π/2
    2×atan(0.42292381523713)-π/2
    2×0.40011078678807-π/2
    0.800221573576139-1.57079632675     		φ = -0.77057475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71023310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.693359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77057475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.150681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25360 KachelY 41744 -0.71023310 -0.77057475 -40.693359 -44.150681
    Oben rechts KachelX + 1 25361 KachelY 41744 -0.71013723 -0.77057475 -40.687866 -44.150681
    Unten links KachelX 25360 KachelY + 1 41745 -0.71023310 -0.77064354 -40.693359 -44.154622
    Unten rechts KachelX + 1 25361 KachelY + 1 41745 -0.71013723 -0.77064354 -40.687866 -44.154622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77057475--0.77064354) × R
    6.87900000000408e-05 × 6371000     		dl = 438.26109000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77057475--0.77064354) × R
    6.87900000000408e-05 × 6371000     		dr = 438.26109000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71023310--0.71013723) × cos(-0.77057475) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.717510447328143 × 6371000     		do = 438.24660607525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71023310--0.71013723) × cos(-0.77064354) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.717462530111302 × 6371000     		du = 438.217338825231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77057475)-sin(-0.77064354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717510447328143-0.717462530111302)×R²
    abs(-0.71013723--0.71023310)×4.79172168409425e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79172168409425e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79172168409425e-05×40589641000000     		ar = 192060.02199477m²