Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 254 / 774
↖ ↑ ↗
← N 40.178873°
W135.351562°		 ← 14.934 km → N 40.178873°
W135.175781°		 →
↑
14.949 km
↓
↑
14.949 km
↓
N 40.044437°
W135.351562°		 ← 14.963 km →
223.460 km²		 N 40.044437°
W135.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124267578125 y=0.378173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124267578125 × 211)
    floor (0.124267578125 × 2048)
    floor (254.5)     		tx = 254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378173828125 × 211)
    floor (0.378173828125 × 2048)
    floor (774.5)     		ty = 774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 254 / 774 ti = "11/254/774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/254/774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 254 ÷ 211
    254 ÷ 2048     		x = 0.1240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 774 ÷ 211
    774 ÷ 2048     		y = 0.3779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1240234375 × 2 - 1) × π
    -0.751953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.36233041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3779296875 × 2 - 1) × π
    0.244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.766990393920898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36233041} λ = -2.36233041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.766990393920898))-π/2
    2×atan(2.1532759796213)-π/2
    2×1.13602497792759-π/2
    2.27204995585519-1.57079632675     		φ = 0.70125363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36233041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70125363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.178873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 254 KachelY 774 -2.36233041 0.70125363 -135.351562 40.178873
    Oben rechts KachelX + 1 255 KachelY 774 -2.35926245 0.70125363 -135.175781 40.178873
    Unten links KachelX 254 KachelY + 1 775 -2.36233041 0.69890728 -135.351562 40.044437
    Unten rechts KachelX + 1 255 KachelY + 1 775 -2.35926245 0.69890728 -135.175781 40.044437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70125363-0.69890728) × R
    0.00234634999999994 × 6371000     		dl = 14948.5958499996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70125363-0.69890728) × R
    0.00234634999999994 × 6371000     		dr = 14948.5958499996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36233041--2.35926245) × cos(0.70125363) × R
    0.00306796000000009 × 0.764033975868385 × 6371000     		do = 14933.787585652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36233041--2.35926245) × cos(0.69890728) × R
    0.00306796000000009 × 0.765545680070707 × 6371000     		du = 14963.3353154164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70125363)-sin(0.69890728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764033975868385-0.765545680070707)×R²
    abs(-2.35926245--2.36233041)×0.00151170420232261×R²
    0.00306796000000009×0.00151170420232261×6371000²
    0.00306796000000009×0.00151170420232261×40589641000000     		ar = 223460106.181921m²