Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2544 / 496
↖ ↑ ↗
← N 79.432371°
E 43.593750°		 ← 1 792.33 m → N 79.432371°
E 43.681641°		 →
↑
1 793.69 m
↓
↑
1 793.69 m
↓
N 79.416240°
E 43.593750°		 ← 1 795.03 m →
3 217 306 m²		 N 79.416240°
E 43.681641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6212158203125 y=0.1212158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6212158203125 × 212)
    floor (0.6212158203125 × 4096)
    floor (2544.5)     		tx = 2544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1212158203125 × 212)
    floor (0.1212158203125 × 4096)
    floor (496.5)     		ty = 496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2544 / 496 ti = "12/2544/496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2544/496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2544 ÷ 212
    2544 ÷ 4096     		x = 0.62109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 496 ÷ 212
    496 ÷ 4096     		y = 0.12109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62109375 × 2 - 1) × π
    0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12109375 × 2 - 1) × π
    0.7578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38073818273047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76085447} λ = 0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38073818273047))-π/2
    2×atan(10.8128818012243)-π/2
    2×1.4785763645972-π/2
    2.9571527291944-1.57079632675     		φ = 1.38635640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38635640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.432371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2544 KachelY 496 0.76085447 1.38635640 43.593750 79.432371
    Oben rechts KachelX + 1 2545 KachelY 496 0.76238845 1.38635640 43.681641 79.432371
    Unten links KachelX 2544 KachelY + 1 497 0.76085447 1.38607486 43.593750 79.416240
    Unten rechts KachelX + 1 2545 KachelY + 1 497 0.76238845 1.38607486 43.681641 79.416240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38635640-1.38607486) × R
    0.000281540000000025 × 6371000     		dl = 1793.69134000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38635640-1.38607486) × R
    0.000281540000000025 × 6371000     		dr = 1793.69134000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76085447-0.76238845) × cos(1.38635640) × R
    0.00153398000000005 × 0.183395988450163 × 6371000     		do = 1792.32653394933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76085447-0.76238845) × cos(1.38607486) × R
    0.00153398000000005 × 0.183672746011926 × 6371000     		du = 1795.03128188636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38635640)-sin(1.38607486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183395988450163-0.183672746011926)×R²
    abs(0.76238845-0.76085447)×0.000276757561763735×R²
    0.00153398000000005×0.000276757561763735×6371000²
    0.00153398000000005×0.000276757561763735×40589641000000     		ar = 3217306.3451277m²