Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2546 / 498
↖ ↑ ↗
← N 79.400084°
E 43.769531°		 ← 1 797.74 m → N 79.400084°
E 43.857422°		 →
↑
1 799.11 m
↓
↑
1 799.11 m
↓
N 79.383905°
E 43.769531°		 ← 1 800.45 m →
3 236 766 m²		 N 79.383905°
E 43.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6217041015625 y=0.1217041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6217041015625 × 212)
    floor (0.6217041015625 × 4096)
    floor (2546.5)     		tx = 2546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1217041015625 × 212)
    floor (0.1217041015625 × 4096)
    floor (498.5)     		ty = 498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2546 / 498 ti = "12/2546/498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2546/498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2546 ÷ 212
    2546 ÷ 4096     		x = 0.62158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 498 ÷ 212
    498 ÷ 4096     		y = 0.12158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62158203125 × 2 - 1) × π
    0.2431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76392243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12158203125 × 2 - 1) × π
    0.7568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37767022115479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76392243} λ = 0.76392243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37767022115479))-π/2
    2×atan(10.779759130856)-π/2
    2×1.47829461403695-π/2
    2.95658922807391-1.57079632675     		φ = 1.38579290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76392243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38579290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.400084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2546 KachelY 498 0.76392243 1.38579290 43.769531 79.400084
    Oben rechts KachelX + 1 2547 KachelY 498 0.76545641 1.38579290 43.857422 79.400084
    Unten links KachelX 2546 KachelY + 1 499 0.76392243 1.38551051 43.769531 79.383905
    Unten rechts KachelX + 1 2547 KachelY + 1 499 0.76545641 1.38551051 43.857422 79.383905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38579290-1.38551051) × R
    0.000282389999999966 × 6371000     		dl = 1799.10668999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38579290-1.38551051) × R
    0.000282389999999966 × 6371000     		dr = 1799.10668999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76392243-0.76545641) × cos(1.38579290) × R
    0.00153397999999993 × 0.183949901847889 × 6371000     		do = 1797.73992215166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76392243-0.76545641) × cos(1.38551051) × R
    0.00153397999999993 × 0.184227465699549 × 6371000     		du = 1800.45254994902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38579290)-sin(1.38551051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183949901847889-0.184227465699549)×R²
    abs(0.76545641-0.76392243)×0.000277563851660251×R²
    0.00153397999999993×0.000277563851660251×6371000²
    0.00153397999999993×0.000277563851660251×40589641000000     		ar = 3236766.09574308m²