Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2548 / 564
↖ ↑ ↗
← N 78.278202°
E 43.945312°		 ← 1 985.48 m → N 78.278202°
E 44.033203°		 →
↑
1 986.99 m
↓
↑
1 986.99 m
↓
N 78.260332°
E 43.945312°		 ← 1 988.46 m →
3 948 085 m²		 N 78.260332°
E 44.033203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6221923828125 y=0.1378173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6221923828125 × 212)
    floor (0.6221923828125 × 4096)
    floor (2548.5)     		tx = 2548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1378173828125 × 212)
    floor (0.1378173828125 × 4096)
    floor (564.5)     		ty = 564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2548 / 564 ti = "12/2548/564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2548/564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2548 ÷ 212
    2548 ÷ 4096     		x = 0.6220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 564 ÷ 212
    564 ÷ 4096     		y = 0.1376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6220703125 × 2 - 1) × π
    0.244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76699039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1376953125 × 2 - 1) × π
    0.724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27642748915723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76699039} λ = 0.76699039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27642748915723))-π/2
    2×atan(9.74181542760384)-π/2
    2×1.46850433735916-π/2
    2.93700867471832-1.57079632675     		φ = 1.36621235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76699039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.945312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36621235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.278202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2548 KachelY 564 0.76699039 1.36621235 43.945312 78.278202
    Oben rechts KachelX + 1 2549 KachelY 564 0.76852437 1.36621235 44.033203 78.278202
    Unten links KachelX 2548 KachelY + 1 565 0.76699039 1.36590047 43.945312 78.260332
    Unten rechts KachelX + 1 2549 KachelY + 1 565 0.76852437 1.36590047 44.033203 78.260332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36621235-1.36590047) × R
    0.000311880000000153 × 6371000     		dl = 1986.98748000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36621235-1.36590047) × R
    0.000311880000000153 × 6371000     		dr = 1986.98748000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76699039-0.76852437) × cos(1.36621235) × R
    0.00153397999999993 × 0.203159830211532 × 6371000     		do = 1985.47829425229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76699039-0.76852437) × cos(1.36590047) × R
    0.00153397999999993 × 0.203465196252118 × 6371000     		du = 1988.46263246893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36621235)-sin(1.36590047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203159830211532-0.203465196252118)×R²
    abs(0.76852437-0.76699039)×0.000305366040586175×R²
    0.00153397999999993×0.000305366040586175×6371000²
    0.00153397999999993×0.000305366040586175×40589641000000     		ar = 3948085.46583171m²