Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 255 / 771
↖ ↑ ↗
← N 40.580584°
W135.175781°		 ← 14.845 km → N 40.580584°
W135.000000°		 →
↑
14.860 km
↓
↑
14.860 km
↓
N 40.446947°
W135.175781°		 ← 14.875 km →
220.814 km²		 N 40.446947°
W135.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124755859375 y=0.376708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124755859375 × 211)
    floor (0.124755859375 × 2048)
    floor (255.5)     		tx = 255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.376708984375 × 211)
    floor (0.376708984375 × 2048)
    floor (771.5)     		ty = 771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 255 / 771 ti = "11/255/771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/255/771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 255 ÷ 211
    255 ÷ 2048     		x = 0.12451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 771 ÷ 211
    771 ÷ 2048     		y = 0.37646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12451171875 × 2 - 1) × π
    -0.7509765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.35926245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37646484375 × 2 - 1) × π
    0.2470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.776194278647949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35926245} λ = -2.35926245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.776194278647949))-π/2
    2×atan(2.17318596759015)-π/2
    2×1.1395305707757-π/2
    2.27906114155139-1.57079632675     		φ = 0.70826481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35926245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70826481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.580584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 255 KachelY 771 -2.35926245 0.70826481 -135.175781 40.580584
    Oben rechts KachelX + 1 256 KachelY 771 -2.35619449 0.70826481 -135.000000 40.580584
    Unten links KachelX 255 KachelY + 1 772 -2.35926245 0.70593240 -135.175781 40.446947
    Unten rechts KachelX + 1 256 KachelY + 1 772 -2.35619449 0.70593240 -135.000000 40.446947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70826481-0.70593240) × R
    0.00233240999999995 × 6371000     		dl = 14859.7841099997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70826481-0.70593240) × R
    0.00233240999999995 × 6371000     		dr = 14859.7841099997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35926245--2.35619449) × cos(0.70826481) × R
    0.00306796000000009 × 0.759491789194407 × 6371000     		do = 14845.0061268347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35926245--2.35619449) × cos(0.70593240) × R
    0.00306796000000009 × 0.76100699404595 × 6371000     		du = 14874.6222801949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70826481)-sin(0.70593240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759491789194407-0.76100699404595)×R²
    abs(-2.35619449--2.35926245)×0.00151520485154277×R²
    0.00306796000000009×0.00151520485154277×6371000²
    0.00306796000000009×0.00151520485154277×40589641000000     		ar = 220813731.083681m²