Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2552 / 503
↖ ↑ ↗
← N 79.318942°
E 44.296875°		 ← 1 811.34 m → N 79.318942°
E 44.384766°		 →
↑
1 812.68 m
↓
↑
1 812.68 m
↓
N 79.302640°
E 44.296875°		 ← 1 814.07 m →
3 285 855 m²		 N 79.302640°
E 44.384766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6231689453125 y=0.1229248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6231689453125 × 212)
    floor (0.6231689453125 × 4096)
    floor (2552.5)     		tx = 2552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1229248046875 × 212)
    floor (0.1229248046875 × 4096)
    floor (503.5)     		ty = 503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2552 / 503 ti = "12/2552/503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2552/503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2552 ÷ 212
    2552 ÷ 4096     		x = 0.623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 503 ÷ 212
    503 ÷ 4096     		y = 0.122802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623046875 × 2 - 1) × π
    0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122802734375 × 2 - 1) × π
    0.75439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37000031721558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77312632} λ = 0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37000031721558))-π/2
    2×atan(10.697395677491)-π/2
    2×1.47758650938441-π/2
    2.95517301876881-1.57079632675     		φ = 1.38437669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38437669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.318942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2552 KachelY 503 0.77312632 1.38437669 44.296875 79.318942
    Oben rechts KachelX + 1 2553 KachelY 503 0.77466030 1.38437669 44.384766 79.318942
    Unten links KachelX 2552 KachelY + 1 504 0.77312632 1.38409217 44.296875 79.302640
    Unten rechts KachelX + 1 2553 KachelY + 1 504 0.77466030 1.38409217 44.384766 79.302640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38437669-1.38409217) × R
    0.000284520000000121 × 6371000     		dl = 1812.67692000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38437669-1.38409217) × R
    0.000284520000000121 × 6371000     		dr = 1812.67692000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77312632-0.77466030) × cos(1.38437669) × R
    0.00153397999999993 × 0.185341760167756 × 6371000     		do = 1811.34253483298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77312632-0.77466030) × cos(1.38409217) × R
    0.00153397999999993 × 0.18562134310359 × 6371000     		du = 1814.07489511289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38437669)-sin(1.38409217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185341760167756-0.18562134310359)×R²
    abs(0.77466030-0.77312632)×0.000279582935834077×R²
    0.00153397999999993×0.000279582935834077×6371000²
    0.00153397999999993×0.000279582935834077×40589641000000     		ar = 3285855.27248016m²