Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2556 / 524
↖ ↑ ↗
← N 78.971386°
E 44.648437°		 ← 1 869.56 m → N 78.971386°
E 44.736328°		 →
↑
1 870.97 m
↓
↑
1 870.97 m
↓
N 78.954560°
E 44.648437°		 ← 1 872.38 m →
3 500 537 m²		 N 78.954560°
E 44.736328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6241455078125 y=0.1280517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6241455078125 × 212)
    floor (0.6241455078125 × 4096)
    floor (2556.5)     		tx = 2556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1280517578125 × 212)
    floor (0.1280517578125 × 4096)
    floor (524.5)     		ty = 524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2556 / 524 ti = "12/2556/524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2556/524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2556 ÷ 212
    2556 ÷ 4096     		x = 0.6240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 524 ÷ 212
    524 ÷ 4096     		y = 0.1279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6240234375 × 2 - 1) × π
    0.248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77926224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1279296875 × 2 - 1) × π
    0.744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3377867206709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77926224} λ = 0.77926224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3377867206709))-π/2
    2×atan(10.3582853944792)-π/2
    2×1.47455351304601-π/2
    2.94910702609201-1.57079632675     		φ = 1.37831070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77926224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37831070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.971386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2556 KachelY 524 0.77926224 1.37831070 44.648437 78.971386
    Oben rechts KachelX + 1 2557 KachelY 524 0.78079622 1.37831070 44.736328 78.971386
    Unten links KachelX 2556 KachelY + 1 525 0.77926224 1.37801703 44.648437 78.954560
    Unten rechts KachelX + 1 2557 KachelY + 1 525 0.78079622 1.37801703 44.736328 78.954560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37831070-1.37801703) × R
    0.000293670000000024 × 6371000     		dl = 1870.97157000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37831070-1.37801703) × R
    0.000293670000000024 × 6371000     		dr = 1870.97157000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77926224-0.78079622) × cos(1.37831070) × R
    0.00153398000000005 × 0.191299205085577 × 6371000     		do = 1869.56456406607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77926224-0.78079622) × cos(1.37801703) × R
    0.00153398000000005 × 0.191587443267103 × 6371000     		du = 1872.38151194597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37831070)-sin(1.37801703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191299205085577-0.191587443267103)×R²
    abs(0.78079622-0.77926224)×0.000288238181525902×R²
    0.00153398000000005×0.000288238181525902×6371000²
    0.00153398000000005×0.000288238181525902×40589641000000     		ar = 3500537.38750273m²