Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25596 / 41980
↖ ↑ ↗
← S 45.073521°
W 39.396973°		 ← 431.38 m → S 45.073521°
W 39.391479°		 →
↑
431.32 m
↓
↑
431.32 m
↓
S 45.077400°
W 39.396973°		 ← 431.35 m →
186 056 m²		 S 45.077400°
W 39.391479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390571594238281 y=0.640571594238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390571594238281 × 216)
    floor (0.390571594238281 × 65536)
    floor (25596.5)     		tx = 25596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640571594238281 × 216)
    floor (0.640571594238281 × 65536)
    floor (41980.5)     		ty = 41980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25596 / 41980 ti = "16/25596/41980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25596/41980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25596 ÷ 216
    25596 ÷ 65536     		x = 0.39056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41980 ÷ 216
    41980 ÷ 65536     		y = 0.64056396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.2188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.68760689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.2811279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.883189438599915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68760689} λ = -0.68760689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883189438599915))-π/2
    2×atan(0.413462094504792)-π/2
    2×0.392057493380064-π/2
    0.784114986760127-1.57079632675     		φ = -0.78668134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68760689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.396973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78668134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.073521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25596 KachelY 41980 -0.68760689 -0.78668134 -39.396973 -45.073521
    Oben rechts KachelX + 1 25597 KachelY 41980 -0.68751101 -0.78668134 -39.391479 -45.073521
    Unten links KachelX 25596 KachelY + 1 41981 -0.68760689 -0.78674904 -39.396973 -45.077400
    Unten rechts KachelX + 1 25597 KachelY + 1 41981 -0.68751101 -0.78674904 -39.391479 -45.077400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78668134--0.78674904) × R
    6.77000000000039e-05 × 6371000     		dl = 431.316700000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78668134--0.78674904) × R
    6.77000000000039e-05 × 6371000     		dr = 431.316700000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68760689--0.68751101) × cos(-0.78668134) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.706198856417924 × 6371000     		do = 431.382616616914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68760689--0.68751101) × cos(-0.78674904) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.706150922282832 × 6371000     		du = 431.35333597955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78668134)-sin(-0.78674904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706198856417924-0.706150922282832)×R²
    abs(-0.68751101--0.68760689)×4.79341350918538e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79341350918538e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79341350918538e-05×40589641000000     		ar = 186056.212093544m²