Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25599 / 41983
↖ ↑ ↗
← S 45.085157°
W 39.380493°		 ← 431.29 m → S 45.085157°
W 39.375000°		 →
↑
431.25 m
↓
↑
431.25 m
↓
S 45.089036°
W 39.380493°		 ← 431.27 m →
185 991 m²		 S 45.089036°
W 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390617370605469 y=0.640617370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390617370605469 × 216)
    floor (0.390617370605469 × 65536)
    floor (25599.5)     		tx = 25599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640617370605469 × 216)
    floor (0.640617370605469 × 65536)
    floor (41983.5)     		ty = 41983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25599 / 41983 ti = "16/25599/41983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25599/41983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25599 ÷ 216
    25599 ÷ 65536     		x = 0.390609741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41983 ÷ 216
    41983 ÷ 65536     		y = 0.640609741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390609741210938 × 2 - 1) × π
    -0.218780517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.68731927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640609741210938 × 2 - 1) × π
    -0.281219482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.883477059997635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68731927} λ = -0.68731927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883477059997635))-π/2
    2×atan(0.413343191059674)-π/2
    2×0.391955944769712-π/2
    0.783911889539424-1.57079632675     		φ = -0.78688444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68731927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.380493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78688444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.085157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25599 KachelY 41983 -0.68731927 -0.78688444 -39.380493 -45.085157
    Oben rechts KachelX + 1 25600 KachelY 41983 -0.68722339 -0.78688444 -39.375000 -45.085157
    Unten links KachelX 25599 KachelY + 1 41984 -0.68731927 -0.78695213 -39.380493 -45.089036
    Unten rechts KachelX + 1 25600 KachelY + 1 41984 -0.68722339 -0.78695213 -39.375000 -45.089036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78688444--0.78695213) × R
    6.76899999999536e-05 × 6371000     		dl = 431.252989999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78688444--0.78695213) × R
    6.76899999999536e-05 × 6371000     		dr = 431.252989999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68731927--0.68722339) × cos(-0.78688444) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.706055044303385 × 6371000     		do = 431.294768774405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68731927--0.68722339) × cos(-0.78695213) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.706007107541517 × 6371000     		du = 431.265486532471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78688444)-sin(-0.78695213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706055044303385-0.706007107541517)×R²
    abs(-0.68722339--0.68731927)×4.79367618685389e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79367618685389e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79367618685389e-05×40589641000000     		ar = 185990.844648869m²