Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25599 / 44031
↖ ↑ ↗
← S 52.479435°
W 39.380493°		 ← 372.04 m → S 52.479435°
W 39.375000°		 →
↑
372 m
↓
↑
372 m
↓
S 52.482780°
W 39.380493°		 ← 372.01 m →
138 393 m²		 S 52.482780°
W 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390617370605469 y=0.671867370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390617370605469 × 216)
    floor (0.390617370605469 × 65536)
    floor (25599.5)     		tx = 25599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671867370605469 × 216)
    floor (0.671867370605469 × 65536)
    floor (44031.5)     		ty = 44031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25599 / 44031 ti = "16/25599/44031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25599/44031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25599 ÷ 216
    25599 ÷ 65536     		x = 0.390609741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44031 ÷ 216
    44031 ÷ 65536     		y = 0.671859741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390609741210938 × 2 - 1) × π
    -0.218780517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.68731927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671859741210938 × 2 - 1) × π
    -0.343719482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.07982660084138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68731927} λ = -0.68731927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07982660084138))-π/2
    2×atan(0.339654416329005)-π/2
    2×0.327428700343021-π/2
    0.654857400686041-1.57079632675     		φ = -0.91593893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68731927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.380493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91593893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.479435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25599 KachelY 44031 -0.68731927 -0.91593893 -39.380493 -52.479435
    Oben rechts KachelX + 1 25600 KachelY 44031 -0.68722339 -0.91593893 -39.375000 -52.479435
    Unten links KachelX 25599 KachelY + 1 44032 -0.68731927 -0.91599732 -39.380493 -52.482780
    Unten rechts KachelX + 1 25600 KachelY + 1 44032 -0.68722339 -0.91599732 -39.375000 -52.482780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91593893--0.91599732) × R
    5.83899999999637e-05 × 6371000     		dl = 372.002689999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91593893--0.91599732) × R
    5.83899999999637e-05 × 6371000     		dr = 372.002689999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68731927--0.68722339) × cos(-0.91593893) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.609046145959618 × 6371000     		do = 372.036739647916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68731927--0.68722339) × cos(-0.91599732) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.608999833781129 × 6371000     		du = 372.008449785143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91593893)-sin(-0.91599732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609046145959618-0.608999833781129)×R²
    abs(-0.68722339--0.68731927)×4.63121784892717e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.63121784892717e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.63121784892717e-05×40589641000000     		ar = 138393.406014708m²