Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2560 / 3584
↖ ↑ ↗
← S 79.171334°
E 45.000000°		 ← 1 836.08 m → S 79.171334°
E 45.087890°		 →
↑
1 834.72 m
↓
↑
1 834.72 m
↓
S 79.187835°
E 45.000000°		 ← 1 833.31 m →
3 366 154 m²		 S 79.187835°
E 45.087890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6251220703125 y=0.8751220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6251220703125 × 212)
    floor (0.6251220703125 × 4096)
    floor (2560.5)     		tx = 2560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8751220703125 × 212)
    floor (0.8751220703125 × 4096)
    floor (3584.5)     		ty = 3584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2560 / 3584 ti = "12/2560/3584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2560/3584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2560 ÷ 212
    2560 ÷ 4096     		x = 0.625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3584 ÷ 212
    3584 ÷ 4096     		y = 0.875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Λ = 0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875 × 2 - 1) × π
    -0.75 × 3.1415926535     		Φ = -2.356194490125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78539816} λ = 0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.356194490125))-π/2
    2×atan(0.0947802248485378)-π/2
    2×0.0944979320635037-π/2
    0.188995864127007-1.57079632675     		φ = -1.38180046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38180046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.171334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2560 KachelY 3584 0.78539816 -1.38180046 45.000000 -79.171334
    Oben rechts KachelX + 1 2561 KachelY 3584 0.78693214 -1.38180046 45.087890 -79.171334
    Unten links KachelX 2560 KachelY + 1 3585 0.78539816 -1.38208844 45.000000 -79.187835
    Unten rechts KachelX + 1 2561 KachelY + 1 3585 0.78693214 -1.38208844 45.087890 -79.187835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38180046--1.38208844) × R
    0.000287979999999965 × 6371000     		dl = 1834.72057999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38180046--1.38208844) × R
    0.000287979999999965 × 6371000     		dr = 1834.72057999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78539816-0.78693214) × cos(-1.38180046) × R
    0.00153398000000005 × 0.187872736870527 × 6371000     		do = 1836.07773618359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78539816-0.78693214) × cos(-1.38208844) × R
    0.00153398000000005 × 0.187589877034631 × 6371000     		du = 1833.31335080336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38180046)-sin(-1.38208844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187872736870527-0.187589877034631)×R²
    abs(0.78693214-0.78539816)×0.000282859835895793×R²
    0.00153398000000005×0.000282859835895793×6371000²
    0.00153398000000005×0.000282859835895793×40589641000000     		ar = 3366153.69494432m²