Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2560 / 6657
↖ ↑ ↗
← N 31.933517°
W123.750000°		 ← 2 073.52 m → N 31.933517°
W123.728027°		 →
↑
2 073.70 m
↓
↑
2 073.70 m
↓
N 31.914868°
W123.750000°		 ← 2 073.94 m →
4 300 285 m²		 N 31.914868°
W123.728027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156280517578125 y=0.406341552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156280517578125 × 214)
    floor (0.156280517578125 × 16384)
    floor (2560.5)     		tx = 2560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406341552734375 × 214)
    floor (0.406341552734375 × 16384)
    floor (6657.5)     		ty = 6657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2560 / 6657 ti = "14/2560/6657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2560/6657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2560 ÷ 214
    2560 ÷ 16384     		x = 0.15625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6657 ÷ 214
    6657 ÷ 16384     		y = 0.40631103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15625 × 2 - 1) × π
    -0.6875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15984495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40631103515625 × 2 - 1) × π
    0.1873779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.58866512733429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15984495} λ = -2.15984495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58866512733429))-π/2
    2×atan(1.80158192710794)-π/2
    2×1.06407066800832-π/2
    2.12814133601663-1.57079632675     		φ = 0.55734501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15984495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55734501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.933517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2560 KachelY 6657 -2.15984495 0.55734501 -123.750000 31.933517
    Oben rechts KachelX + 1 2561 KachelY 6657 -2.15946145 0.55734501 -123.728027 31.933517
    Unten links KachelX 2560 KachelY + 1 6658 -2.15984495 0.55701952 -123.750000 31.914868
    Unten rechts KachelX + 1 2561 KachelY + 1 6658 -2.15946145 0.55701952 -123.728027 31.914868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55734501-0.55701952) × R
    0.000325490000000039 × 6371000     		dl = 2073.69679000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55734501-0.55701952) × R
    0.000325490000000039 × 6371000     		dr = 2073.69679000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15984495--2.15946145) × cos(0.55734501) × R
    0.000383500000000314 × 0.8486624172632 × 6371000     		do = 2073.5186378589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15984495--2.15946145) × cos(0.55701952) × R
    0.000383500000000314 × 0.848834535317246 × 6371000     		du = 2073.93917019982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55734501)-sin(0.55701952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8486624172632-0.848834535317246)×R²
    abs(-2.15946145--2.15984495)×0.000172118054045489×R²
    0.000383500000000314×0.000172118054045489×6371000²
    0.000383500000000314×0.000172118054045489×40589641000000     		ar = 4300285.00958267m²