Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25600 / 25599
↖ ↑ ↗
← S 70.608967°
E101.250000°		 ← 405.60 m → S 70.608967°
E101.260987°		 →
↑
405.58 m
↓
↑
405.58 m
↓
S 70.612614°
E101.250000°		 ← 405.53 m →
164 488 m²		 S 70.612614°
E101.260987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781265258789062 y=0.781234741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781265258789062 × 215)
    floor (0.781265258789062 × 32768)
    floor (25600.5)     		tx = 25600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781234741210938 × 215)
    floor (0.781234741210938 × 32768)
    floor (25599.5)     		ty = 25599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25600 / 25599 ti = "15/25600/25599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25600/25599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25600 ÷ 215
    25600 ÷ 32768     		x = 0.78125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25599 ÷ 215
    25599 ÷ 32768     		y = 0.781219482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78125 × 2 - 1) × π
    0.5625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76714587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781219482421875 × 2 - 1) × π
    -0.56243896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76695411999527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76714587} λ = 1.76714587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76695411999527))-π/2
    2×atan(0.170852593595394)-π/2
    2×0.16921868597694-π/2
    0.33843737195388-1.57079632675     		φ = -1.23235895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76714587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23235895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.608967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25600 KachelY 25599 1.76714587 -1.23235895 101.250000 -70.608967
    Oben rechts KachelX + 1 25601 KachelY 25599 1.76733762 -1.23235895 101.260987 -70.608967
    Unten links KachelX 25600 KachelY + 1 25600 1.76714587 -1.23242261 101.250000 -70.612614
    Unten rechts KachelX + 1 25601 KachelY + 1 25600 1.76733762 -1.23242261 101.260987 -70.612614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23235895--1.23242261) × R
    6.36599999999099e-05 × 6371000     		dl = 405.577859999426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23235895--1.23242261) × R
    6.36599999999099e-05 × 6371000     		dr = 405.577859999426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76714587-1.76733762) × cos(-1.23235895) × R
    0.000191749999999935 × 0.332013515270415 × 6371000     		do = 405.600741784676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76714587-1.76733762) × cos(-1.23242261) × R
    0.000191749999999935 × 0.331953465734817 × 6371000     		du = 405.527382915045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23235895)-sin(-1.23242261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332013515270415-0.331953465734817)×R²
    abs(1.76733762-1.76714587)×6.00495355984609e-05×R²
    0.000191749999999935×6.00495355984609e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.00495355984609e-05×40589641000000     		ar = 164487.80455602m²