Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25600 / 25601
↖ ↑ ↗
← S 70.616261°
E101.250000°		 ← 405.45 m → S 70.616261°
E101.260987°		 →
↑
405.39 m
↓
↑
405.39 m
↓
S 70.619907°
E101.250000°		 ← 405.38 m →
164 351 m²		 S 70.619907°
E101.260987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781265258789062 y=0.781295776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781265258789062 × 215)
    floor (0.781265258789062 × 32768)
    floor (25600.5)     		tx = 25600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781295776367188 × 215)
    floor (0.781295776367188 × 32768)
    floor (25601.5)     		ty = 25601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25600 / 25601 ti = "15/25600/25601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25600/25601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25600 ÷ 215
    25600 ÷ 32768     		x = 0.78125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25601 ÷ 215
    25601 ÷ 32768     		y = 0.781280517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78125 × 2 - 1) × π
    0.5625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76714587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781280517578125 × 2 - 1) × π
    -0.56256103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76733761519223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76714587} λ = 1.76714587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76733761519223))-π/2
    2×atan(0.170787085008279)-π/2
    2×0.169155034697114-π/2
    0.338310069394227-1.57079632675     		φ = -1.23248626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76714587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23248626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.616261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25600 KachelY 25601 1.76714587 -1.23248626 101.250000 -70.616261
    Oben rechts KachelX + 1 25601 KachelY 25601 1.76733762 -1.23248626 101.260987 -70.616261
    Unten links KachelX 25600 KachelY + 1 25602 1.76714587 -1.23254989 101.250000 -70.619907
    Unten rechts KachelX + 1 25601 KachelY + 1 25602 1.76733762 -1.23254989 101.260987 -70.619907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23248626--1.23254989) × R
    6.36300000000922e-05 × 6371000     		dl = 405.386730000588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23248626--1.23254989) × R
    6.36300000000922e-05 × 6371000     		dr = 405.386730000588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76714587-1.76733762) × cos(-1.23248626) × R
    0.000191749999999935 × 0.331893424287114 × 6371000     		do = 405.454033925904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76714587-1.76733762) × cos(-1.23254989) × R
    0.000191749999999935 × 0.331833400361564 × 6371000     		du = 405.380706342513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23248626)-sin(-1.23254989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331893424287114-0.331833400361564)×R²
    abs(1.76733762-1.76714587)×6.00239255500457e-05×R²
    0.000191749999999935×6.00239255500457e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.00239255500457e-05×40589641000000     		ar = 164350.822019374m²