Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25604 / 25604
↖ ↑ ↗
← S 70.627196°
E101.293945°		 ← 405.23 m → S 70.627196°
E101.304932°		 →
↑
405.20 m
↓
↑
405.20 m
↓
S 70.630840°
E101.293945°		 ← 405.16 m →
164 184 m²		 S 70.630840°
E101.304932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781387329101562 y=0.781387329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781387329101562 × 215)
    floor (0.781387329101562 × 32768)
    floor (25604.5)     		tx = 25604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781387329101562 × 215)
    floor (0.781387329101562 × 32768)
    floor (25604.5)     		ty = 25604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25604 / 25604 ti = "15/25604/25604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25604/25604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25604 ÷ 215
    25604 ÷ 32768     		x = 0.7813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25604 ÷ 215
    25604 ÷ 32768     		y = 0.7813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7813720703125 × 2 - 1) × π
    0.562744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76791286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.562744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76791285798767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76791286} λ = 1.76791286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76791285798767))-π/2
    2×atan(0.170688869219744)-π/2
    2×0.169059600941649-π/2
    0.338119201883299-1.57079632675     		φ = -1.23267712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76791286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23267712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.627196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25604 KachelY 25604 1.76791286 -1.23267712 101.293945 -70.627196
    Oben rechts KachelX + 1 25605 KachelY 25604 1.76810461 -1.23267712 101.304932 -70.627196
    Unten links KachelX 25604 KachelY + 1 25605 1.76791286 -1.23274072 101.293945 -70.630840
    Unten rechts KachelX + 1 25605 KachelY + 1 25605 1.76810461 -1.23274072 101.304932 -70.630840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23267712--1.23274072) × R
    6.36000000000525e-05 × 6371000     		dl = 405.195600000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23267712--1.23274072) × R
    6.36000000000525e-05 × 6371000     		dr = 405.195600000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76791286-1.76810461) × cos(-1.23267712) × R
    0.000191749999999935 × 0.331713376781556 × 6371000     		do = 405.23408082625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76791286-1.76810461) × cos(-1.23274072) × R
    0.000191749999999935 × 0.331653377128849 × 6371000     		du = 405.160782895517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23267712)-sin(-1.23274072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331713376781556-0.331653377128849)×R²
    abs(1.76810461-1.76791286)×5.99996527064217e-05×R²
    0.000191749999999935×5.99996527064217e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.99996527064217e-05×40589641000000     		ar = 164184.216576763m²