Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25607 / 41991
↖ ↑ ↗
← S 45.116177°
W 39.336548°		 ← 431.06 m → S 45.116177°
W 39.331055°		 →
↑
431 m
↓
↑
431 m
↓
S 45.120053°
W 39.336548°		 ← 431.03 m →
185 780 m²		 S 45.120053°
W 39.331055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390739440917969 y=0.640739440917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390739440917969 × 216)
    floor (0.390739440917969 × 65536)
    floor (25607.5)     		tx = 25607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640739440917969 × 216)
    floor (0.640739440917969 × 65536)
    floor (41991.5)     		ty = 41991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25607 / 41991 ti = "16/25607/41991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25607/41991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25607 ÷ 216
    25607 ÷ 65536     		x = 0.390731811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41991 ÷ 216
    41991 ÷ 65536     		y = 0.640731811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390731811523438 × 2 - 1) × π
    -0.218536376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.68655228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640731811523438 × 2 - 1) × π
    -0.281463623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.884244050391556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68655228} λ = -0.68655228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884244050391556))-π/2
    2×atan(0.413026282351242)-π/2
    2×0.391685249584559-π/2
    0.783370499169118-1.57079632675     		φ = -0.78742583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68655228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.336548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78742583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.116177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25607 KachelY 41991 -0.68655228 -0.78742583 -39.336548 -45.116177
    Oben rechts KachelX + 1 25608 KachelY 41991 -0.68645640 -0.78742583 -39.331055 -45.116177
    Unten links KachelX 25607 KachelY + 1 41992 -0.68655228 -0.78749348 -39.336548 -45.120053
    Unten rechts KachelX + 1 25608 KachelY + 1 41992 -0.68645640 -0.78749348 -39.331055 -45.120053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78742583--0.78749348) × R
    6.76499999999747e-05 × 6371000     		dl = 430.998149999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78742583--0.78749348) × R
    6.76499999999747e-05 × 6371000     		dr = 430.998149999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68655228--0.68645640) × cos(-0.78742583) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.705671551754204 × 6371000     		do = 431.060511783168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68655228--0.68645640) × cos(-0.78749348) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.705623617469134 × 6371000     		du = 431.031231054191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78742583)-sin(-0.78749348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705671551754204-0.705623617469134)×R²
    abs(-0.68645640--0.68655228)×4.79342850692177e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79342850692177e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79342850692177e-05×40589641000000     		ar = 185779.973217511m²