Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25607 / 41993
↖ ↑ ↗
← S 45.123929°
W 39.336548°		 ← 431 m → S 45.123929°
W 39.331055°		 →
↑
430.93 m
↓
↑
430.93 m
↓
S 45.127804°
W 39.336548°		 ← 430.97 m →
185 727 m²		 S 45.127804°
W 39.331055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390739440917969 y=0.640769958496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390739440917969 × 216)
    floor (0.390739440917969 × 65536)
    floor (25607.5)     		tx = 25607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640769958496094 × 216)
    floor (0.640769958496094 × 65536)
    floor (41993.5)     		ty = 41993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25607 / 41993 ti = "16/25607/41993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25607/41993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25607 ÷ 216
    25607 ÷ 65536     		x = 0.390731811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41993 ÷ 216
    41993 ÷ 65536     		y = 0.640762329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390731811523438 × 2 - 1) × π
    -0.218536376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.68655228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640762329101562 × 2 - 1) × π
    -0.281524658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.884435797990036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68655228} λ = -0.68655228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884435797990036))-π/2
    2×atan(0.412947093145904)-π/2
    2×0.391617598767568-π/2
    0.783235197535137-1.57079632675     		φ = -0.78756113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68655228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.336548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78756113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.123929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25607 KachelY 41993 -0.68655228 -0.78756113 -39.336548 -45.123929
    Oben rechts KachelX + 1 25608 KachelY 41993 -0.68645640 -0.78756113 -39.331055 -45.123929
    Unten links KachelX 25607 KachelY + 1 41994 -0.68655228 -0.78762877 -39.336548 -45.127804
    Unten rechts KachelX + 1 25608 KachelY + 1 41994 -0.68645640 -0.78762877 -39.331055 -45.127804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78756113--0.78762877) × R
    6.76399999999244e-05 × 6371000     		dl = 430.934439999519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78756113--0.78762877) × R
    6.76399999999244e-05 × 6371000     		dr = 430.934439999519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68655228--0.68645640) × cos(-0.78756113) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.705575679954763 × 6371000     		do = 431.00194835259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68655228--0.68645640) × cos(-0.78762877) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.705527746298131 × 6371000     		du = 430.972668007495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78756113)-sin(-0.78762877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705575679954763-0.705527746298131)×R²
    abs(-0.68645640--0.68655228)×4.79336566314714e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79336566314714e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79336566314714e-05×40589641000000     		ar = 185727.274368023m²