Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25608 / 25608
↖ ↑ ↗
← S 70.641769°
E101.337891°		 ← 404.94 m → S 70.641769°
E101.348877°		 →
↑
404.94 m
↓
↑
404.94 m
↓
S 70.645410°
E101.337891°		 ← 404.87 m →
163 962 m²		 S 70.645410°
E101.348877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781509399414062 y=0.781509399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781509399414062 × 215)
    floor (0.781509399414062 × 32768)
    floor (25608.5)     		tx = 25608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781509399414062 × 215)
    floor (0.781509399414062 × 32768)
    floor (25608.5)     		ty = 25608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25608 / 25608 ti = "15/25608/25608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25608/25608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25608 ÷ 215
    25608 ÷ 32768     		x = 0.781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25608 ÷ 215
    25608 ÷ 32768     		y = 0.781494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781494140625 × 2 - 1) × π
    0.56298828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76867985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.56298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76867984838159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76867985} λ = 1.76867985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76867984838159))-π/2
    2×atan(0.170558002689805)-π/2
    2×0.168932436469372-π/2
    0.337864872938745-1.57079632675     		φ = -1.23293145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76867985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23293145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.641769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25608 KachelY 25608 1.76867985 -1.23293145 101.337891 -70.641769
    Oben rechts KachelX + 1 25609 KachelY 25608 1.76887160 -1.23293145 101.348877 -70.641769
    Unten links KachelX 25608 KachelY + 1 25609 1.76867985 -1.23299501 101.337891 -70.645410
    Unten rechts KachelX + 1 25609 KachelY + 1 25609 1.76887160 -1.23299501 101.348877 -70.645410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23293145--1.23299501) × R
    6.35600000000736e-05 × 6371000     		dl = 404.940760000469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23293145--1.23299501) × R
    6.35600000000736e-05 × 6371000     		dr = 404.940760000469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76867985-1.76887160) × cos(-1.23293145) × R
    0.000191749999999935 × 0.331473436165073 × 6371000     		do = 404.940959951485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76867985-1.76887160) × cos(-1.23299501) × R
    0.000191749999999935 × 0.331413468888624 × 6371000     		du = 404.86770157286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23293145)-sin(-1.23299501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331473436165073-0.331413468888624)×R²
    abs(1.76887160-1.76867985)×5.99672764481918e-05×R²
    0.000191749999999935×5.99672764481918e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.99672764481918e-05×40589641000000     		ar = 163962.267481002m²