Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25608 / 44040
↖ ↑ ↗
← S 52.509535°
W 39.331055°		 ← 371.74 m → S 52.509535°
W 39.325562°		 →
↑
371.75 m
↓
↑
371.75 m
↓
S 52.512878°
W 39.331055°		 ← 371.72 m →
138 190 m²		 S 52.512878°
W 39.325562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390754699707031 y=0.672004699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390754699707031 × 216)
    floor (0.390754699707031 × 65536)
    floor (25608.5)     		tx = 25608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672004699707031 × 216)
    floor (0.672004699707031 × 65536)
    floor (44040.5)     		ty = 44040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25608 / 44040 ti = "16/25608/44040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25608/44040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25608 ÷ 216
    25608 ÷ 65536     		x = 0.3907470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44040 ÷ 216
    44040 ÷ 65536     		y = 0.6719970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.218505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.68645640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6719970703125 × 2 - 1) × π
    -0.343994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08068946503455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68645640} λ = -0.68645640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08068946503455))-π/2
    2×atan(0.339361467100982)-π/2
    2×0.32716602819052-π/2
    0.654332056381041-1.57079632675     		φ = -0.91646427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68645640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.331055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91646427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.509535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25608 KachelY 44040 -0.68645640 -0.91646427 -39.331055 -52.509535
    Oben rechts KachelX + 1 25609 KachelY 44040 -0.68636053 -0.91646427 -39.325562 -52.509535
    Unten links KachelX 25608 KachelY + 1 44041 -0.68645640 -0.91652262 -39.331055 -52.512878
    Unten rechts KachelX + 1 25609 KachelY + 1 44041 -0.68636053 -0.91652262 -39.325562 -52.512878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91646427--0.91652262) × R
    5.83499999999848e-05 × 6371000     		dl = 371.747849999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91646427--0.91652262) × R
    5.83499999999848e-05 × 6371000     		dr = 371.747849999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68645640--0.68636053) × cos(-0.91646427) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.608629396506284 × 6371000     		do = 371.743391848511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68645640--0.68636053) × cos(-0.91652262) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.608583097392254 × 6371000     		du = 371.7151129159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91646427)-sin(-0.91652262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608629396506284-0.608583097392254)×R²
    abs(-0.68636053--0.68645640)×4.62991140296465e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62991140296465e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62991140296465e-05×40589641000000     		ar = 138189.550394459m²