Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2561 / 3587
↖ ↑ ↗
← S 79.220760°
E 45.087890°		 ← 1 827.80 m → S 79.220760°
E 45.175781°		 →
↑
1 826.44 m
↓
↑
1 826.44 m
↓
S 79.237185°
E 45.087890°		 ← 1 825.04 m →
3 335 844 m²		 S 79.237185°
E 45.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6253662109375 y=0.8758544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6253662109375 × 212)
    floor (0.6253662109375 × 4096)
    floor (2561.5)     		tx = 2561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8758544921875 × 212)
    floor (0.8758544921875 × 4096)
    floor (3587.5)     		ty = 3587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2561 / 3587 ti = "12/2561/3587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2561/3587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2561 ÷ 212
    2561 ÷ 4096     		x = 0.625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3587 ÷ 212
    3587 ÷ 4096     		y = 0.875732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625244140625 × 2 - 1) × π
    0.25048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78693214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.75146484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36079643248853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78693214} λ = 0.78693214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36079643248853))-π/2
    2×atan(0.0943450538006228)-π/2
    2×0.0940666178736466-π/2
    0.188133235747293-1.57079632675     		φ = -1.38266309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78693214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.087890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38266309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.220760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2561 KachelY 3587 0.78693214 -1.38266309 45.087890 -79.220760
    Oben rechts KachelX + 1 2562 KachelY 3587 0.78846612 -1.38266309 45.175781 -79.220760
    Unten links KachelX 2561 KachelY + 1 3588 0.78693214 -1.38294977 45.087890 -79.237185
    Unten rechts KachelX + 1 2562 KachelY + 1 3588 0.78846612 -1.38294977 45.175781 -79.237185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38266309--1.38294977) × R
    0.000286679999999873 × 6371000     		dl = 1826.43827999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38266309--1.38294977) × R
    0.000286679999999873 × 6371000     		dr = 1826.43827999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78693214-0.78846612) × cos(-1.38266309) × R
    0.00153398000000005 × 0.187025397599732 × 6371000     		do = 1827.7967008614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78693214-0.78846612) × cos(-1.38294977) × R
    0.00153398000000005 × 0.186743768364246 × 6371000     		du = 1825.04434212246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38266309)-sin(-1.38294977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187025397599732-0.186743768364246)×R²
    abs(0.78846612-0.78693214)×0.000281629235485387×R²
    0.00153398000000005×0.000281629235485387×6371000²
    0.00153398000000005×0.000281629235485387×40589641000000     		ar = 3335844.37867929m²