Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2561 / 512
↖ ↑ ↗
← N 79.171334°
E 45.087890°		 ← 1 836.08 m → N 79.171334°
E 45.175781°		 →
↑
1 837.46 m
↓
↑
1 837.46 m
↓
N 79.154810°
E 45.087890°		 ← 1 838.85 m →
3 376 263 m²		 N 79.154810°
E 45.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6253662109375 y=0.1251220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6253662109375 × 212)
    floor (0.6253662109375 × 4096)
    floor (2561.5)     		tx = 2561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1251220703125 × 212)
    floor (0.1251220703125 × 4096)
    floor (512.5)     		ty = 512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2561 / 512 ti = "12/2561/512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2561/512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2561 ÷ 212
    2561 ÷ 4096     		x = 0.625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 512 ÷ 212
    512 ÷ 4096     		y = 0.125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625244140625 × 2 - 1) × π
    0.25048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78693214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125 × 2 - 1) × π
    0.75 × 3.1415926535     		Φ = 2.356194490125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78693214} λ = 0.78693214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.356194490125))-π/2
    2×atan(10.5507240734872)-π/2
    2×1.47629839473139-π/2
    2.95259678946279-1.57079632675     		φ = 1.38180046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78693214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.087890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38180046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.171334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2561 KachelY 512 0.78693214 1.38180046 45.087890 79.171334
    Oben rechts KachelX + 1 2562 KachelY 512 0.78846612 1.38180046 45.175781 79.171334
    Unten links KachelX 2561 KachelY + 1 513 0.78693214 1.38151205 45.087890 79.154810
    Unten rechts KachelX + 1 2562 KachelY + 1 513 0.78846612 1.38151205 45.175781 79.154810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38180046-1.38151205) × R
    0.000288410000000017 × 6371000     		dl = 1837.46011000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38180046-1.38151205) × R
    0.000288410000000017 × 6371000     		dr = 1837.46011000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78693214-0.78846612) × cos(1.38180046) × R
    0.00153398000000005 × 0.187872736870527 × 6371000     		do = 1836.07773618359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78693214-0.78846612) × cos(1.38151205) × R
    0.00153398000000005 × 0.188156003445525 × 6371000     		du = 1838.8460966196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38180046)-sin(1.38151205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187872736870527-0.188156003445525)×R²
    abs(0.78846612-0.78693214)×0.000283266574997637×R²
    0.00153398000000005×0.000283266574997637×6371000²
    0.00153398000000005×0.000283266574997637×40589641000000     		ar = 3376262.99843814m²