Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25610 / 41994
↖ ↑ ↗
← S 45.127804°
W 39.320068°		 ← 430.93 m → S 45.127804°
W 39.314575°		 →
↑
430.93 m
↓
↑
430.93 m
↓
S 45.131680°
W 39.320068°		 ← 430.90 m →
185 695 m²		 S 45.131680°
W 39.314575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390785217285156 y=0.640785217285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390785217285156 × 216)
    floor (0.390785217285156 × 65536)
    floor (25610.5)     		tx = 25610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640785217285156 × 216)
    floor (0.640785217285156 × 65536)
    floor (41994.5)     		ty = 41994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25610 / 41994 ti = "16/25610/41994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25610/41994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25610 ÷ 216
    25610 ÷ 65536     		x = 0.390777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41994 ÷ 216
    41994 ÷ 65536     		y = 0.640777587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.21844482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68626465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.28155517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.884531671789276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68626465} λ = -0.68626465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884531671789276))-π/2
    2×atan(0.412907504236999)-π/2
    2×0.391583776805961-π/2
    0.783167553611922-1.57079632675     		φ = -0.78762877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68626465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.320068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78762877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.127804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25610 KachelY 41994 -0.68626465 -0.78762877 -39.320068 -45.127804
    Oben rechts KachelX + 1 25611 KachelY 41994 -0.68616878 -0.78762877 -39.314575 -45.127804
    Unten links KachelX 25610 KachelY + 1 41995 -0.68626465 -0.78769641 -39.320068 -45.131680
    Unten rechts KachelX + 1 25611 KachelY + 1 41995 -0.68616878 -0.78769641 -39.314575 -45.131680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78762877--0.78769641) × R
    6.76400000000354e-05 × 6371000     		dl = 430.934440000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78762877--0.78769641) × R
    6.76400000000354e-05 × 6371000     		dr = 430.934440000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68626465--0.68616878) × cos(-0.78762877) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.705527746298131 × 6371000     		do = 430.927718834552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68626465--0.68616878) × cos(-0.78769641) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.705479809413591 × 6371000     		du = 430.898439571743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78762877)-sin(-0.78769641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705527746298131-0.705479809413591)×R²
    abs(-0.68616878--0.68626465)×4.79368845407446e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79368845407446e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79368845407446e-05×40589641000000     		ar = 185695.286546189m²