Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25618 / 42002
↖ ↑ ↗
← S 45.158801°
W 39.276123°		 ← 430.69 m → S 45.158801°
W 39.270630°		 →
↑
430.68 m
↓
↑
430.68 m
↓
S 45.162674°
W 39.276123°		 ← 430.66 m →
185 485 m²		 S 45.162674°
W 39.270630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390907287597656 y=0.640907287597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390907287597656 × 216)
    floor (0.390907287597656 × 65536)
    floor (25618.5)     		tx = 25618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640907287597656 × 216)
    floor (0.640907287597656 × 65536)
    floor (42002.5)     		ty = 42002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25618 / 42002 ti = "16/25618/42002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25618/42002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25618 ÷ 216
    25618 ÷ 65536     		x = 0.390899658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42002 ÷ 216
    42002 ÷ 65536     		y = 0.640899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390899658203125 × 2 - 1) × π
    -0.21820068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.68549766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640899658203125 × 2 - 1) × π
    -0.28179931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.885298662183197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68549766} λ = -0.68549766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885298662183197))-π/2
    2×atan(0.412590929568056)-π/2
    2×0.391313283838224-π/2
    0.782626567676449-1.57079632675     		φ = -0.78816976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68549766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.276123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78816976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.158801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25618 KachelY 42002 -0.68549766 -0.78816976 -39.276123 -45.158801
    Oben rechts KachelX + 1 25619 KachelY 42002 -0.68540179 -0.78816976 -39.270630 -45.158801
    Unten links KachelX 25618 KachelY + 1 42003 -0.68549766 -0.78823736 -39.276123 -45.162674
    Unten rechts KachelX + 1 25619 KachelY + 1 42003 -0.68540179 -0.78823736 -39.270630 -45.162674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78816976--0.78823736) × R
    6.75999999999455e-05 × 6371000     		dl = 430.679599999653m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78816976--0.78823736) × R
    6.75999999999455e-05 × 6371000     		dr = 430.679599999653m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68549766--0.68540179) × cos(-0.78816976) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.705144253037086 × 6371000     		do = 430.693485840828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68549766--0.68540179) × cos(-0.78823736) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.705096318707832 × 6371000     		du = 430.664208138757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78816976)-sin(-0.78823736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705144253037086-0.705096318707832)×R²
    abs(-0.68540179--0.68549766)×4.79343292539847e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79343292539847e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79343292539847e-05×40589641000000     		ar = 185484.593620561m²